Nous avons vu que la notion d'espace compact est très fertile pour tout ce qui concerne les limites et la continuité. Cependant c'est une propriété assez forte que peu d'espaces ont a priori. En particulier, dans le cas des espaces métriques, la compacité globale de l'espace exige que l'espace soit borné, ce qui est rarement le cas en pratique. Nous introduisons ici une propriété un peu plus faible mais souvent rencontrée en pratique, en particulier dans le cas des espaces $\mathbb{R}^{n}$.
On dit qu'un espace topologique séparé (E,$\mathfrak{T}$) est localement compact si tout point x de E possède un voisinage compact dans E.
Il résulte de la définition que :
- Tout espace compact est localement compact.
- Tout espace discret est localement compact.
- $\mathbb{R}$ est localement compact grâce au théorème de Borel-Lebesgue
Soit A un ensemble compact dans un espace métrique localement compact (E,d). Alors il existe un r>0 tel que Vr(A) soit relativement compact dans E.
Pour tout x∈A, il existe un voisinage compact Vx de x. Les $\overset{o}{V_{x}}$ forment un recouvrement ouvert de A, donc il existe un sous ensemble fini {x1, ... ,xn} dans A tel que les $\overset{o}{V_{x_{i}}}$ (1≤i≤n) forment un recouvrement ouvert de A. L'ensemble $U=\bigcup_{i=1}^{n}V_{x_{i}}$ est compact d'après ce résultat et est un voisinage de A ; d'où le résultat en appliquant ceci.
Soit (E,d) un espace métrique localement compact. Les propriétés suivantes sont équivalentes:
- Il existe une suite croissante (Un) d'ensembles relativement compacts dans E tels que $\overline{U_{n}}\subseteq U_{n+1}$ pour tout n et $E=\bigcup_{n}^{ }U_{n}$.
- E est réunion dénombrable de sous-ensembles compacts.
- E est séparable.
Il est clair que 1.⇒2. puisque $\overline{U_{n}}$ est compact.
Si E est la réunion d'une suite (Kn) d'ensembles compacts, chaque sous-espace Kn est séparable d'après ce résultat. Si Dn est un ensemble au plus dénombrable dans Kn, dense par rapport à Kn, alors $D=\bigcup_{n}^{ }D_{n}$ est au plus dénombrable et dense dans E, puisque $E=\bigcup_{n}^{ }K_{n}\subseteq \bigcup_{n}^{ }\overline{D_{n}}\subseteq \overline{D}$, bonc 2.⇒3.
Supposons enfin que E soit séparable et soit (Vn) une base au plus dénombrable pour les ensembles ouverts de E (revoir ce résultat). Pour chaque x∈E il existe un voisinage compact Wx de x, donc, d'après ce résultat, un indice n(x) tel que x∈Vn(x)⊆Wx. Il en résulte que ceux des Vn qui sont relativement compacts constituent déjà une base pour les ensembles ouverts de E. Nous pouvons donc supposer que tous les Vn sont relativement compacts. Définissons alors Un, par récurrence, de la façon suivante: U1=V1, Un+1 est la réunion de Vn+1 et de Vr($\overline{U_{n}}$), où r>0 a été choisi de façon que $V_{r}(\overline{U_{n}})$ soit relativement compact (ce qui est possible d'après le second résultat de cette même page); il est alors clair que la suite (Un) vérifie la propriété 1.
Si E est la réunion d'une suite (Kn) d'ensembles compacts, chaque sous-espace Kn est séparable d'après ce résultat. Si Dn est un ensemble au plus dénombrable dans Kn, dense par rapport à Kn, alors $D=\bigcup_{n}^{ }D_{n}$ est au plus dénombrable et dense dans E, puisque $E=\bigcup_{n}^{ }K_{n}\subseteq \bigcup_{n}^{ }\overline{D_{n}}\subseteq \overline{D}$, bonc 2.⇒3.
Supposons enfin que E soit séparable et soit (Vn) une base au plus dénombrable pour les ensembles ouverts de E (revoir ce résultat). Pour chaque x∈E il existe un voisinage compact Wx de x, donc, d'après ce résultat, un indice n(x) tel que x∈Vn(x)⊆Wx. Il en résulte que ceux des Vn qui sont relativement compacts constituent déjà une base pour les ensembles ouverts de E. Nous pouvons donc supposer que tous les Vn sont relativement compacts. Définissons alors Un, par récurrence, de la façon suivante: U1=V1, Un+1 est la réunion de Vn+1 et de Vr($\overline{U_{n}}$), où r>0 a été choisi de façon que $V_{r}(\overline{U_{n}})$ soit relativement compact (ce qui est possible d'après le second résultat de cette même page); il est alors clair que la suite (Un) vérifie la propriété 1.
Dans un espace métrique localement compact, tout sous-espace ouvert et tout sous-espace fermé est localement compact.
Supposons que A soit ouvert dans E ; pour tout a∈E, il existe une boule fermée B'(a;r) qui est compacte, en vertu de la définition d'un espace localement compact et du fait que dans un compact tout fermé est compact. D'autre part, il existe r'≤r tel que B'(a;r') soit contenue dans A ; comme cette boule est compacte (fermé dans un compact), A est localement compact.
Supposons que A soit fermé dans E et soit a∈A ; alors, si V est un voisinage compact de a dans E, V∩A est un voisinage de a dans A, et il est compact comme sous-espace fermé d'un espace compact ; cela montre que A est localement compact.
Supposons que A soit fermé dans E et soit a∈A ; alors, si V est un voisinage compact de a dans E, V∩A est un voisinage de a dans A, et il est compact comme sous-espace fermé d'un espace compact ; cela montre que A est localement compact.