Soient E1,....,En et F des espaces de Banach, Soit E l'espace produit E1×E2×...×En. Soit U un ouvert de E et soit f une application continue f:U→F.
On suppose connues la notion de dérivée partielle ainsi que les notations en usage.
Nous démontrons maintenant le théorème annoncé (et énoncé) ici, que nous rappelons.
Si les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)$ existent en tout point x=(x1,...,xn)∈U et si les applications $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}:U\rightarrow \mathfrak{L}\left ( E_{i};F \right )$ sont continues au point a, alors f est différentiable au point a.
La démonstration va utiliser de manière essentielle le théorème des accroissements finis.
On veut montrer que :
$$\left \| f(x)-f(a)-\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a).\left ( x_{i}-a_{i} \right ) \right \|$$
est o(||x-a||) c'est à dire o(Supi(||x-ai||)) ou encore ce qui est équivalent o(||x1-a1||+...+||xn-an||)
On a l'identité :$$f(x)-f(a)-\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a).\left ( x_{i}-a_{i} \right ) =
f(x)-f(a_{1},x_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a).(x_{1}-a_{1})+f(a_{1},x_{2},...,x_{n})-f(a_{1},a_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(a).(x_{2}-a_{2})+...+f(a_{1},...,a_{n-1},x_{n})-f(a)-\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(a).\left ( x_{n}-a_{n} \right )$$
Il suffit donc de montrer que ε>0 étant donné, il existe η>0 tel que les inégalités :
$$\left \| x_{1}-a_{1} \right \|\leqslant \eta ,...,\left \| x_{n}-a_{n} \right \|\leqslant \eta \tag{1}$$
entraînent :
$$\begin{cases}
& ||f(x_{1},x_{2},...,x_{n-1},x_{n})-f(a_{1},x_{2},...,x_{n-1},x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a).(x_{1}-a_{1})||\leqslant \varepsilon ||x_{1}-a_{1} ||\\
& ||f(a_{1},x_{2},...,x_{n-1},x_{n})-f(a_{1},a_{2},...,x_{n-1},x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(a).(x_{2}-a_{2})||\leqslant \varepsilon ||x_{2}-a_{2} || \\
& ...............................................\\
& ||f(a_{1},a_{2},...,a_{n-1},x_{n})-f(a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(a).(x_{n}-a_{n})||\leqslant \varepsilon ||x_{n}-a_{n} || \\
\end{cases} \tag{2}$$
Montrons, par exemple que, ε étant donné, on peut choisir η1 de façon que (1) implique la première inégalité de (2) ; la démonstration serait analogue pour les autres inégalités de (2).
On aurait ainsi à faire un choix pour chacune des n inégalités de (2) et alors on pourrait trouver un η, le plus petit des nombres η1,...,ηn qui fonctionne pour les n inégalités de (2).
Regardons donc le premier membre de la première des inégalités (2). Soit ξ1 une variable (élément de l'espace E1, suffisamment voisin de a1), et posons :
$$g(\xi _{1})=f(\xi _{1},x_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a).\left ( \xi _{1}-a_{1} \right )$$
On veut majorer ||g(x1)-g(a)||. Or g a une dérivée, compte tenu de la définition des dérivées partielles, du théorème sur la dérivation des sommes et du théorème sur la dérivation des applications linéaires c'est :
$$g'\left ( \xi _{1} \right )=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(\xi _{1},x_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a)$$
Puisque, par hypothèse, $\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x)$ est une fonction de x qui est continue au point a, il existe un η>0 tel que les inégalités (1) entraînent :
$$\left \| \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a) \right \| \leqslant \varepsilon $$
S'il en est ainsi et si ξ1=(1-t)a1+tx1 est un point du segment d'origine a1 et d'extrêmité x1, on a aussi :
$$\left \| \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(\xi_{1},x_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a) \right \| \leqslant \varepsilon $$
car ||ξ1-a1||≤||x1-a1||≤η.
D'après ce théorème on en conclut donc que :
||g(x1)-g(a1)||≤ε||x1-a1||
et c'est justement ce que nous voulions démontrer.
On veut montrer que :
$$\left \| f(x)-f(a)-\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a).\left ( x_{i}-a_{i} \right ) \right \|$$
est o(||x-a||) c'est à dire o(Supi(||x-ai||)) ou encore ce qui est équivalent o(||x1-a1||+...+||xn-an||)
On a l'identité :$$f(x)-f(a)-\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(a).\left ( x_{i}-a_{i} \right ) =
f(x)-f(a_{1},x_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a).(x_{1}-a_{1})+f(a_{1},x_{2},...,x_{n})-f(a_{1},a_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(a).(x_{2}-a_{2})+...+f(a_{1},...,a_{n-1},x_{n})-f(a)-\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(a).\left ( x_{n}-a_{n} \right )$$
Il suffit donc de montrer que ε>0 étant donné, il existe η>0 tel que les inégalités :
$$\left \| x_{1}-a_{1} \right \|\leqslant \eta ,...,\left \| x_{n}-a_{n} \right \|\leqslant \eta \tag{1}$$
entraînent :
$$\begin{cases}
& ||f(x_{1},x_{2},...,x_{n-1},x_{n})-f(a_{1},x_{2},...,x_{n-1},x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a).(x_{1}-a_{1})||\leqslant \varepsilon ||x_{1}-a_{1} ||\\
& ||f(a_{1},x_{2},...,x_{n-1},x_{n})-f(a_{1},a_{2},...,x_{n-1},x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(a).(x_{2}-a_{2})||\leqslant \varepsilon ||x_{2}-a_{2} || \\
& ...............................................\\
& ||f(a_{1},a_{2},...,a_{n-1},x_{n})-f(a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(a).(x_{n}-a_{n})||\leqslant \varepsilon ||x_{n}-a_{n} || \\
\end{cases} \tag{2}$$
Montrons, par exemple que, ε étant donné, on peut choisir η1 de façon que (1) implique la première inégalité de (2) ; la démonstration serait analogue pour les autres inégalités de (2).
On aurait ainsi à faire un choix pour chacune des n inégalités de (2) et alors on pourrait trouver un η, le plus petit des nombres η1,...,ηn qui fonctionne pour les n inégalités de (2).
Regardons donc le premier membre de la première des inégalités (2). Soit ξ1 une variable (élément de l'espace E1, suffisamment voisin de a1), et posons :
$$g(\xi _{1})=f(\xi _{1},x_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a).\left ( \xi _{1}-a_{1} \right )$$
On veut majorer ||g(x1)-g(a)||. Or g a une dérivée, compte tenu de la définition des dérivées partielles, du théorème sur la dérivation des sommes et du théorème sur la dérivation des applications linéaires c'est :
$$g'\left ( \xi _{1} \right )=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(\xi _{1},x_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a)$$
Puisque, par hypothèse, $\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x)$ est une fonction de x qui est continue au point a, il existe un η>0 tel que les inégalités (1) entraînent :
$$\left \| \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a) \right \| \leqslant \varepsilon $$
S'il en est ainsi et si ξ1=(1-t)a1+tx1 est un point du segment d'origine a1 et d'extrêmité x1, on a aussi :
$$\left \| \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(\xi_{1},x_{2},...,x_{n})-\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a) \right \| \leqslant \varepsilon $$
car ||ξ1-a1||≤||x1-a1||≤η.
D'après ce théorème on en conclut donc que :
||g(x1)-g(a1)||≤ε||x1-a1||
et c'est justement ce que nous voulions démontrer.
Compte tenu des résultats de cette page, et avec les hypothèses et les notations précédentes ce théorème entraîne :
Pour que f soit de classe C1 sur U, il faut et il suffit que f ait des dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ pour i allant de 1 à n et que ces n applications $U\rightarrow \mathfrak{L}(E_{i};F) $ soient continues.
Ceci s'applique en particulier au cas où chaque Ei est égal à K (K étant le corps ℝ ou ℂ). Les $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ pouvant alors être assimilées à des applications de U dans F.