Espaces produits

On a déjà rencontré en algèbre des structures produits (produits d'ensembles, de groupes, d'anneaux, d'espaces vectoriels). Nous nous efforçons ici de suivre un plan analogue en munissant l'ensemble produit E×E' où (E,$\mathfrak{T}$) et (E,$\mathfrak{T'}$) sont deux espaces topologiques d'une topologie 'compatible' en ce sens qu'elle doit rendre continues les projections naturelles :
$$
\begin{cases}
& p:E\times E' \to E \\
& (x,x') \mapsto p(x,x')=x
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
& p':E\times E' \to E' \\
& (x,x') \mapsto p'(x,x')=x'
\end{cases}
$$
Nous aborderons ensuite le cas des espaces métriques qui sont en particulier des espaces topologiques. Nous définirons sur l'ensemble produit E×E' de deux espaces métriques (E,d) et (E',d') une distance d×d' faisant de E×D' un espace métrique, de sorte que la topologie induite par d×d' soit justement la topologie produit de $\mathfrak{T}$ par $\mathfrak{T'}$ où $\mathfrak{T}$ (resp. $\mathfrak{T'}$)est la topologie sur E (resp. E') induite par la distance d (resp.d').
Le cas de deux espaces ne diffère pas du cas d'un nombre fini quelconque d'espaces.
La notion de produit infini d'espaces topologiques (produit d'une famille indexée) existe aussi et n'est pas plus compliquée conceptuellement que dans le cas fini. Un cas particulier intéressant est celui où tous les ensembles de la famille indexée disons par I sont égaux au même ensemble E (Ei=E ∀i∈I). Dans ce cas l'ensemble produit est tout simplement l'ensemble EI de toutes les applications de I dans E. Cependant si les Ei sont métriques, il n'est pas en général possible de métriser la topologie produit, cela reste pourtant possible si I est dénombrable.

Nous aurons également a étudier la notion de continuité pour des fonctions à valeurs dans un produit, ou bien définies sur un produit.

Cas d'un produit fini d'espaces topologiques

Soient (Ei,$\mathfrak{T}$i)1≤i≤n n espaces topologiques. E désigne l'ensemble produit $E=\prod_{i=1}^{n}E_{i}$. Pour tout i 1≤i≤n, on désigne par pi:E→Ei, la projection (x1,x2,...,xi,...,xn)→xi.
Nous cherchons à munir E d'une topologie telle que toutes les applications pi soient continues. La définition de la continuité implique que les ensembles de la forme $U=\prod_{i=1}^{n}V_{i}$ où pour un certain indice i Vi est un ouvert de Ei et pour tous les indices j≠i Vj=Ej doivent être ouverts. Par intersection finie les produits d'ouverts de la forme $U=\prod_{i=1}^{n}U_{i}$ doivent également être ouverts.

Il existe une unique topologie admettant ces ensembles comme base, et cette topologie est la moins fine de toutes les topologies rendant continues les pi.

Comme nous l'avons vu les ouverts de cette topologie sont les réunions de produits d'ouverts.

La topologie $\mathfrak{T}$ ainsi définie sur E s'appelle la topologie produit des espaces (Ei,$\mathfrak{T}$i), et (E,$\mathfrak{T}$) est l'espace topologique produit des (Ei,$\mathfrak{T}$i), ce que l'on note $(E,\mathfrak{T})=\prod_{i=1}^{n}(E_{i},\mathfrak{T}_{i})$
Il résulte immédiatement de la définition que les projections sont des applications ouvertes en ce sens que l'image de tout ouvert par une projection pi:E→Ei est un ouvert.

Avec les notations précédentes si pour chaque i Ai désigne un sous ensemble de Ei :
$$\overline{\prod_{i=1}^{n}A_{i}}=\prod_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}$$
Soit a=(a1,...,an)∈$\prod_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}$ et soit V un voisinage de a dans E, alors V contient un ensemble du type $\prod_{i=1}^{n}V_{i}$ où chaque Vi est un ouvert contenant ai. Il en résulte que chaque ensemble Vi∩Ai est non vide. Si pour chaque i xi désigne un point de Vi∩Ai le point x=(x1,...,xn)appartient à $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$.
Réciproquement si a∉$\prod_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}$, alors il existe au moins un indice i tel que ai∉$\overline{A_{i}}$. supposons par exemple que a1∉$\overline{A_{1}}$, l'ensemble E1-$\overline{A_{1}}$×E2×...×En est ouvert dans E, contient a et a avec $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ une intersection vide, donc a∉$\overline{\prod_{i=1}^{n}A_{i}}$.

Le résultat qui précède admet le corollaire suivant :

Pour qu'un produit de sous-ensembles Ai de Ei soit fermé dans E il faut et il suffit que chaque Ai soit fermé dans Ei.

Lien avec la continuité

Applications à valeurs dans un produit

Le théorème principal dit que pour qu'une application à valeurs dans un produit soit continues il faut et il suffit que ses composantes soient continues.

Soit
$$
\begin{cases}
& f:F \to E=\prod_{i=1}^{n}E_{i} \\
& z \mapsto f(z)= (f_{1}(z),f_{2}(z),...,f_{n}(z) )
\end{cases}
$$
une application d'un espace topologique (F,$\mathfrak{T'}$) dans un espace topologique produit (E,$\mathfrak{T}$).
Pour que f soit continue au point z0 il faut et il suffit que les fi (1≤i≤n) soient continues en z0.
La condition est nécessaire car fi=pi$\circ{}$f.

 

Elle est suffisante car si U=U1×U2×...×Un est un produit d'ouverts dans E, alors
$f^{-1}(U)=\prod_{i=1}^{n}f_{i}^{-1}(U_{i})$

Ce théorème admet le corollaire suivant, en vertu du lien entre limites et continuité :

Avec les notations précédentes, si tous les espaces sont séparés, et si A est un sous-espace de F et si a∈$\overline{A}$ ; pour que f ait une limite en a par rapport à A, il faut et il suffit que les limites $b_{i}=\lim_{z\rightarrow a,z\in A}f_{i}(z)$ existent et alors
$\lim_{z\rightarrow a,z\in A}f(z)=(b_{1},b_{2},...,b_{n})$

En particulier :

Pour qu'une suite de points zm=(z1,m,z2,m,...,zn,m) dans E soit convergente, il faut et il suffit que les n limites $a_{i}=\lim_{m\rightarrow \infty } z_{i,m}$ existent et on a alors limm→+∞zm=(a1,...,an).
Il suffit d'appliquer le théorème précédent avec $F=\overline{\mathbb{R}}$ et a=+∞

Applications définies sur un produit

Il résulte immédiatement des définitions que :

Si (E,$\mathfrak{T}$) est le produit des espaces topologiques séparés (Ei,$\mathfrak{T}$i) (1≤i≤n) ; pour tout point a=(a1,a2,...an), les n applications xi→(a1,...,ai-1,xi,ai+1,...an) sont des homéomorphismes de (Ei,$\mathfrak{T}$i) sur le sous-espace fermé
{a1}×...×{ai-1}×Ei×{ai+1}×...×{an}.
Dans les hypothèses du résultat précédent si f est une application continue de E dans un espace topologique (F,$\mathfrak{T'}$) chacune des n applications partielles
xi→ f(a1,...,ai-1,xi,ai+1,...an) est continue.

Cela résulte évidemment du fait que ces applications partielles sont composées de
xi→(a1,...,ai-1,xi,ai+1,...an) avec f et du fait que la composée de deux applications continues est encore continue.

Attention !!! la réciproque est fausse comme le montre le contre-exemple suivant :
Soit f l'application de $\mathbb{R}$2 dans $\mathbb{R}$ définie par f(0,0)=0 et f(x,y)=xy/(x²+y²), alors au point (0,0) chacune des deux applications partielles est continue car nulle donc constante, mais f n'est pas continue en (0,0) car constante et égale à 1/2 sur la droite x=y.

Cas d'un nombre fini d'espaces métriques

Soient (Ei,di)1≤i≤n une famille finie de n espaces métriques. Pour tout couple de points
x=(x1,x2,...,xn) y=(y1,y2,...,yn) on pose :
d(x,y)=Max1≤i≤ndi(xi,yi).
Alors d est une distance sur E=E1×E2×...×En, appelée distance produit des di, faisant de E un espace métrique appelée espace produit des (Ei,di).

Le principe de commutativité, énoncé ci-après, résulte immédiatement de la définition :

Pour toute permutation σ de l'ensemble {1,2,...,n} l'application (x1,x2,...,xn)→(xσ(1),xσ(2),...,xσ(n)) est une isométrie de E sur Eσ(1)×Eσ(2)×...×Eσ(n).

En outre, il résulte aussi de la définition de d que :

Pour tout point a=(a1,a2,...,an) de E et tout réel r>0, on a:
$B(a;r)=\prod_{i=1}^{n}B(a_{i};r)$ et $B'(a;r)=\prod_{i=1}^{n}B'(a_{i};r)$.

Si pour chaque i, 1≤i≤n, Ai est un ensemble ouvert dans (Ei,di), alors $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ est ouvert dans E.
En effet si a=(a1,a2,...,an)∈$\prod_{i=1}^{n}A_{i}$, il existe des nombres ri>0 tels que B(ai;ri)⊆Ai. Prenant r=Min(r1,...,rn), alors B(a;r)⊆$\prod_{i=1}^{n}A_{i}$.

Il résulte immédiatement de cela que :

Si pour chaque i, 1≤i≤n, on désigne par $\mathfrak{T}$i la topologie induite sur Ei par la distance di, alors la topologie induite par la distance d est la topologie produit $\mathfrak{T}$1×$\mathfrak{T}$2×...×$\mathfrak{T}$n

Soit
$$
\begin{cases}
& f:F \to E=\prod_{i=1}^{n}E_{i} \\
& z \mapsto f(z)= (f_{1}(z),f_{2}(z),...,f_{n}(z) )
\end{cases}
$$
une application d'un espace métrique (F,d') dans un espace métrique produit (E,d).
Pour que f soit uniformément continue il faut et il suffit que les fi (1≤i≤n) soient uniformément continues.
Cela résulte de la définition de la continuité uniforme et de la définition de la distance produit.

Il est remarquable que :

Dans un produit d'espaces métriques, les projections sont non seulement continues, mais uniformément continues.

Pour qu'une suite de Cauchy zm=(z1,m,z2,m,...,zn,m) d'un espace métrique produit soit une suite de Cauchy il faut et il suffit que chacune des n suites (zi,m) (1≤i≤n) soit une suite de Cauchy.
Cela résulte de la définition d'une suite de Cauchy et de la définition de la distance produit.

Si E est un espace métrique et si d est la distance sur E, la distance produit d de E×E dans $\mathbb{R}$ est uniformément continue.
Car |d(x,y)-d(x',y')|≤d(x,x')+d(y,y') d'après l'inégalité du triangle.
Si (E,d) est le produit des espaces métriques (Ei,di) (1≤i≤n) ; pour tout point a=(a1,a2,...an), les n applications xi→(a1,...,ai-1,xi,ai+1,...an) sont des isométries de (Ei,di) sur le sous-espace fermé {a1}×...×{ai-1}×Ei×{ai+1}×...×{an}.
Dans les hypothèses du résultat précédent si f est une application uniformément continue de E dans un espace métrique (F,d') chacune des n applications partielles xi→ f(a1,...,ai-1,xi,ai+1,...an) est uniformément continue.

Cela résulte évidemment du fait que ces applications partielles sont composées de
xi→(a1,...,ai-1,xi,ai+1,...an) avec f et du fait que la composée de deux applications uniformément continues est encore uniformément continue.

Remarque importante

Les deux fonctions définies sur E par :
$$d'(x,y)=\sum_{i=1}^{n}d_{i}(x_{i},y_{i})$$
$$d''(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}d_{i}(x_{i},y_{i})^{2}}$$
sont également des distances sur E et on a :
d(x,y)≤d"(x,y)≤d'(x,y)≤2d(x,y).
Ce qui entraîne que les trois distances sont Lipschitz-équivalentes, donc uniformément équivalentes, donc équivalentes et qu'elles définissent donc la même topologie. En particulier l'espace $\mathbb{R}$n avec la distance euclidienne habituelle, n'est rien d'autre que le produit de n copies de $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle.

Propriétés héréditaires

Nous énonçons les théorèmes pour deux espaces nommés E et F, les résultats s'étendant immédiatement aux produits finis.

Cas des espaces topologiques généraux

Le produit de deux espaces discrets est discret.
Cela résulte du fait que les ensembles {(x,y)} sont ouverts car {(x,y)}={x}×{y}.

Le produit de deux espaces séparables est séparable.
Soit (xn) (resp. yn) un ensemble dénombrable dense dans E (resp.dans F).
Soit W un voisinage d'un point quelconque (x,y) du produit E×F, alors W contient un ouvert de la forme U×V où U et V sont non vides. Il existe un indice n0 (resp. n1)tel que xn0∈U (resp. yn1∈V). Alors (xn0,yn1)∈W. On conclut en remarquant que les couples (xm,yn) forment un ensemble dénombrable de points de E×Y.

Le produit de deux espaces compacts est compact.
Soit (Uλ) un recouvrement ouvert de E×F. Alors pour tout λ il existe un ouvert Uλ de E et un ouvert Vλ de F tels que Wλ⊆Uλ×Vλ.

Pour tout couple (x,y) il existe donc un indice λ(x,y) tel que (x,y)∈Uλ(x,y)×Vλ(x,y).
Pour un x donné de E les Vλ(x,y) recouvrent F, on peut donc en extraire une suite finie λ1(x,y),...,λn(x,y), telle que les Vλi(x,y) recouvrent F.
Maintenant $U'_{x}=\bigcap_{i=1}^{n}U_{\lambda _{i}(x,y)}$ est un ouvert contenant x comme intersection finie d'ouverts contenant x (en fait ici n dépend de x, donc n=n(x)). On peut donc recouvrir E par une famille finie de tels ensembles U'x1, U'x2, ... ,U'xm, et pour chaque indice j 1≤j≤m il existe un entier n(j) tel que $F=\bigcup_{i=1}^{n(j)}V_{\lambda _{i}(x,y)}$. De sorte que pour extraire de (Uλ) un recouvrement fini il suffit de faire prendre à j toutes les valeurs entre 1 et m et pour chaque j prendre tous les λ(j,i) (en nombre fini) tels que 1≤i≤n(j).

Le produit de deux espaces localement compacts est localement compact.
Cela résulte du théorème précédent et de la définition des voisinages dans un espace produit.

Le produit de deux espaces connexes est connexe.
Soient (a1,a2) et (b1,b2) deux points quelconques de E×F. Les ensembles {a1}×F et E×{b2} sont connexes car homéomorphes à des espaces connexes, il ont un point commun (a1,b2), donc leur réunion est connexe et elle contient à la fois (a1,a2) et (b1,b2) ; par suite la composante connexe de (a1,a2) dans E×F est E×F lui-même et E×F est connexe.

Le produit de deux espaces localement connexes est localement connexe.
Identique à la précédente en utilisant la définition des voisinages dans un espace produit.

Le produit de deux espaces connexes par arcs est encore connexe par arcs.
si t→x(t) est un chemin continu de a1 à a2 dans E et si t→y(t) est un chemin continu de b1 à b2 dans F, alors t→(x(t),y(t)) est un chemin continu de (a1,b1) à (a2,b2) dans E×F.

Cas des espaces métriques

Le produit de deux espaces bornés est borné.
Cela résulte de la définition de la distance produit.

Le produit de deux espaces complets est complet.
Car si ((xn,yn)) est une suite de Cauchy de E×F alors (xn) est une suite de Cauchy dans E convergente vers un point x de E, (yn) est une suite de Cauchy dans E convergente vers un point y de E et ((xn,yn)) converge vers (x,y).

Le produit de deux espaces précompacts est précompact.
Si (Ai) est un recouvrement de E par des ensembles de diamètre ≤ε et si (Bj) est un recouvrement de F par des ensembles de diamètre ≤ε, alors (Ai×Bj) est un recouvrement de E×F par des ensembles de diamètre ≤ε (définition de la distance produit).

Pour qu'un sous-ensemble A de E×F soit relativement compact, il faut et il suffit que les projections p1(A) sur E et p2(A) sur F le soient.
La nécessité provient de ce résultat, et du fait que p1 et p2 sont continues. La suffisance provient du théorème sur l'adhérence d'un produit, du théorème sur le produit de compacts, et du fait que tout sous-ensemble d'un ensemble relativement compact est relativement compact.

Produits d'une famille infinie d'espaces topologiques

Cas des espaces topologiques généraux

Nous considérons ici une famille (Ei,$\mathfrak{T}$i)i∈I d'espaces topologiques où I et un ensemble quelconque (non nécessairement fini). Le produit ensembliste des ensembles (Ei)i∈I est noté E. On considère les projections :

$$ \begin{cases} & p_{i}:E \to E_{i} \\ & x=(x_{i})_{i \in I} \mapsto p_{i}(x)=x_{i} \end{cases} $$

On appelle topologie produit des $\mathfrak{T}$i la moins fine des topologie sur E rendant continues les pi. L'ensemble E muni de cette topologie s'appelle
l'espace produit de la famille (Ei,$\mathfrak{T}$i)i∈I
on note ceci : $(E ,\mathfrak{T})=\prod_{i \in I}^{ }(E_{i},\mathfrak{T}_{i})$

En somme la définition ne diffère en rien du cas fini, et nous avons la même caractérisation de cette topologie :

$\mathfrak{T}$ est la topologie sur E admettant pour prébase les produits $\prod_{j \in I}^{ }X_{j}$ où pour un certain i Xi est un ouvert de Ei et pour j≠i Xj=Ej et pour base les produits $\prod_{j \in I}^{ }X_{j}$ où Xj est un ouvert de Ej pour j appartenant à un ensemble fini K⊆I et où pour j∉K Xj=Ej.

Un cas particulier important est celui où tous les Ei sont égaux au même ensemble F. Alors le produit E se confond avec l'ensemble FI de toutes les applications de I dans F.

Dans ce cas $\mathfrak{T}$ porte un nom particulier, on l'appelle la topologie de la convergence simple sur FI.

En particulier si F est un espace métrique avec la distance d, une suite de fonctions fn:I→F converge donc vers f si :
pour tout i∈I et tout ε>0 il existe un entier n0, tel que n≥n0⇒d(fn(i),f(i))<ε

Cas des espaces métriques

Nous ne traiterons ici que le cas d'un produit dénombrable d'espaces métriques (En,dn)n≥1. Pour commencer nous faisons l'hypothèse supplémentaire suivante que tous les ensembles En sont bornés et de diamètre ≤1. Les élements du produit $E=\prod_{n=1}^{\infty }E_{n}$ sont donc des suites x=(xn)n≥1 telles que pour tout n xn∈En. Nous posons maintenant $d(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{d_{n}(x_{n},y_{n})}{2^{n}}$. Le premier résultat est le suivant :

d est une distance sur E
Il est évident que d est positive, symétrique et que d(x,y)=0 équivaut x=y car une série à termes positifs ne peut être nulle que si tous ses termes sont nuls. Le seul point qui n'est pas évident c'est l'inégalité du triangle. Mais d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) va résulter tout simplement de dn(xn,zn)≤dn(xn,yn)+dn(yn,zn) et du théorème d'associativité pour les séries convergentes à termes positifs.

Pour tout x=(xn)∈E, tout entier m≥1 et tout nombre réel r>0, soit Vm(x,r) l'ensemble de tous les y=(yn) de E tels que dk(xk,yk)<r pour 1≤k≤m. Les ensembles Vm(x;r) forment un système fondamental de voisinages de x dans E.
Si y∈Vm(x;r)alors $d(x,y)\leq \sum_{n=1}^{m}\frac{r}{2^{n}}+\sum_{n=m+1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}\leq r(1-\frac{1}{2^{m}})+\frac{1}{2^{m}}$ donc si ε est un réel >0 donné en prenant r=ε/2 et en choisissant m suffisamment grand pour que 1/2m<ε/2 on a bien Vm(x;r)⊆B(x;ε).

Il en résulte que :

La distance d définit la topologie produit sur E.
En effet la topologie engendrée par les ensembles $\prod_{n=1}^{\infty }V_{n}$ où Vn est un ouvert pour un nombre fini de valeurs de n et Vn=En pour toutes les autres valeurs et la topologie engendrée par les ensembles $\prod_{n=1}^{\infty }V_{n}$ où Vn est un ouvert pour les m premières valeurs de n et Vn=En pour toutes les autres valeurs sont les mêmes.

Considérons maintenant le cas où les espaces En ne sont plus nécessairement de diamètre 1. Pour tout n nous posons $d'_{n}=\frac{d_{n}}{1+d_{n}}$ alors d'n est une distance sur En topologiquement équivalente à dn. Nous construisons donc d comme ci-dessus à partir des d'n et d définit la topologie produit sur E.

Exercices

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