Espaces produits

On a déjà rencontré en algèbre des structures produits (produits d'ensembles, de groupes, d'anneaux, d'espaces vectoriels). Nous nous efforçons ici de suivre un plan analogue en munissant l'ensemble produit E×E' où (E, $\mathfrak{T}$ ) et (E, $\mathfrak{T'}$ ) sont deux espaces topologiques d'une topologie 'compatible' en ce sens qu'elle doit rendre continues les projections naturelles :
$\begin{cases} & p:E\times E' \to E \\ & (x,x') \mapsto p(x,x')=x \end{cases}$
$\begin{cases} & p':E\times E' \to E' \\ & (x,x') \mapsto p'(x,x')=x' \end{cases}$
Nous aborderons ensuite le cas des espaces métriques qui sont en particulier des espaces topologiques. Nous définirons sur l'ensemble produit E×E' de deux espaces métriques (E,d) et (E',d') une distance d×d' faisant de E×D' un espace métrique, de sorte que la topologie induite par d×d' soit justement la topologie produit de $\mathfrak{T}$ par $\mathfrak{T'}$ où $\mathfrak{T}$ (resp. $\mathfrak{T'}$ )est la topologie sur E (resp. E') induite par la distance d (resp.d').
Le cas de deux espaces ne diffère pas du cas d'un nombre fini quelconque d'espaces.
La notion de produit infini d'espaces topologiques (produit d'une famille indexée) existe aussi et n'est pas plus compliquée conceptuellement que dans le cas fini. Un cas particulier intéressant est celui où tous les ensembles de la famille indexée disons par I sont égaux au même ensemble E (E_i=E ∀i∈I). Dans ce cas l'ensemble produit est tout simplement l'ensemble E^I de toutes les applications de I dans E. Cependant si les E_i sont métriques, il n'est pas en général possible de métriser la topologie produit, cela reste pourtant possible si I est dénombrable.

Nous aurons également a étudier la notion de continuité pour des fonctions à valeurs dans un produit, ou bien définies sur un produit.

Cas d'un produit fini d'espaces topologiques

Soient (E_i, $\mathfrak{T}$ _i)_1≤i≤n n espaces topologiques. E désigne l'ensemble produit $E=\prod_{i=1}^{n}E_{i}$ . Pour tout i 1≤i≤n, on désigne par p_i:E→E_i, la projection (x₁,x₂,...,x_i,...,x_n)→x_i.
Nous cherchons à munir E d'une topologie telle que toutes les applications p_i soient continues. La définition de la continuité implique que les ensembles de la forme $U=\prod_{i=1}^{n}V_{i}$ où pour un certain indice i V_i est un ouvert de E_i et pour tous les indices j≠i V_j=E_j doivent être ouverts. Par intersection finie les produits d'ouverts de la forme $U=\prod_{i=1}^{n}U_{i}$ doivent également être ouverts.

Il existe une unique topologie admettant ces ensembles comme base, et cette topologie est la moins fine de toutes les topologies rendant continues les p_i.

Comme nous l'avons vu les ouverts de cette topologie sont les réunions de produits d'ouverts.

La topologie

$\mathfrak{T}$ ainsi définie sur E s'appelle la topologie produit des espaces (E_i,

$\mathfrak{T}$ _i), et (E,

$\mathfrak{T}$ ) est l'espace topologique produit des (E_i,

$\mathfrak{T}$ _i), ce que l'on note

$(E,\mathfrak{T})=\prod_{i=1}^{n}(E_{i},\mathfrak{T}_{i})$

Il résulte immédiatement de la définition que les projections sont des applications ouvertes en ce sens que l'image de tout ouvert par une projection p_i:E→E_i est un ouvert.

Avec les notations précédentes si pour chaque i A_i désigne un sous ensemble de E_i :

$\overline{\prod_{i=1}^{n}A_{i}}=\prod_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}$

Soit a=(a₁,...,a_n)∈

$\prod_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}$ et soit V un voisinage de a dans E, alors V contient un ensemble du type

$\prod_{i=1}^{n}V_{i}$ où chaque V_i est un ouvert contenant a_i. Il en résulte que chaque ensemble V_i∩A_i est non vide. Si pour chaque i x_i désigne un point de V_i∩A_i le point x=(x₁,...,x_n)appartient à

$\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ .
Réciproquement si a∉

$\prod_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}$ , alors il existe au moins un indice i tel que a_i∉

$\overline{A_{i}}$ . supposons par exemple que a₁∉

$\overline{A_{1}}$ , l'ensemble E₁-

$\overline{A_{1}}$ ×E₂×...×E_n est ouvert dans E, contient a et a avec

$\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ une intersection vide, donc a∉

$\overline{\prod_{i=1}^{n}A_{i}}$ .

Le résultat qui précède admet le corollaire suivant :

Pour qu'un produit de sous-ensembles A_i de E_i soit fermé dans E il faut et il suffit que chaque A_i soit fermé dans E_i.

Lien avec la continuité

Applications à valeurs dans un produit

Le théorème principal dit que pour qu'une application à valeurs dans un produit soit continues il faut et il suffit que ses composantes soient continues.

Soit

$\begin{cases} & f:F \to E=\prod_{i=1}^{n}E_{i} \\ & z \mapsto f(z)= (f_{1}(z),f_{2}(z),...,f_{n}(z) ) \end{cases}$
une application d'un espace topologique (F,

$\mathfrak{T'}$ ) dans un espace topologique produit (E,

$\mathfrak{T}$ ).
Pour que f soit continue au point z₀ il faut et il suffit que les f_i (1≤i≤n) soient continues en z₀.

La condition est nécessaire car f_i=p_i

$\circ{}$ f.

Elle est suffisante car si U=U₁×U₂×...×U_n est un produit d'ouverts dans E, alors
$f^{-1}(U)=\prod_{i=1}^{n}f_{i}^{-1}(U_{i})$

Ce théorème admet le corollaire suivant, en vertu du lien entre limites et continuité :

Avec les notations précédentes, si tous les espaces sont séparés, et si A est un sous-espace de F et si a∈

$\overline{A}$ ; pour que f ait une limite en a par rapport à A, il faut et il suffit que les limites

$b_{i}=\lim_{z\rightarrow a,z\in A}f_{i}(z)$ existent et alors

$\lim_{z\rightarrow a,z\in A}f(z)=(b_{1},b_{2},...,b_{n})$

En particulier :

Pour qu'une suite de points z_m=(z_1,m,z_2,m,...,z_n,m) dans E soit convergente, il faut et il suffit que les n limites

$a_{i}=\lim_{m\rightarrow \infty } z_{i,m}$ existent et on a alors lim_m→+∞z_m=(a₁,...,a_n).

Il suffit d'appliquer le théorème précédent avec

$F=\overline{\mathbb{R}}$ et a=+∞

Applications définies sur un produit

Il résulte immédiatement des définitions que :

Si (E,

$\mathfrak{T}$ ) est le produit des espaces topologiques séparés (E_i,

$\mathfrak{T}$ _i) (1≤i≤n) ; pour tout point a=(a₁,a₂,...a_n), les n applications x_i→(a₁,...,a_i-1,x_i,a_i+1,...a_n) sont des homéomorphismes de (E_i,

$\mathfrak{T}$ _i) sur le sous-espace fermé
{a₁}×...×{a_i-1}×E_i×{a_i+1}×...×{a_n}.

Dans les hypothèses du résultat précédent si f est une application continue de E dans un espace topologique (F,

$\mathfrak{T'}$ ) chacune des n applications partielles
x_i→ f(a₁,...,a_i-1,x_i,a_i+1,...a_n) est continue.

Cela résulte évidemment du fait que ces applications partielles sont composées de
x_i→(a₁,...,a_i-1,x_i,a_i+1,...a_n) avec f et du fait que la composée de deux applications continues est encore continue.

Attention !!! la réciproque est fausse comme le montre le contre-exemple suivant :
Soit f l'application de $\mathbb{R}$ ² dans $\mathbb{R}$ définie par f(0,0)=0 et f(x,y)=xy/(x²+y²), alors au point (0,0) chacune des deux applications partielles est continue car nulle donc constante, mais f n'est pas continue en (0,0) car constante et égale à 1/2 sur la droite x=y.

Cas d'un nombre fini d'espaces métriques

Soient (E_i,d_i)_1≤i≤n une famille finie de n espaces métriques. Pour tout couple de points
x=(x₁,x₂,...,x_n) y=(y₁,y₂,...,y_n) on pose :
d(x,y)=Max_1≤i≤nd_i(x_i,y_i).
Alors d est une distance sur E=E₁×E₂×...×E_n, appelée distance produit des d_i, faisant de E un espace métrique appelée espace produit des (E_i,d_i).

Le principe de commutativité, énoncé ci-après, résulte immédiatement de la définition :

Pour toute permutation σ de l'ensemble {1,2,...,n} l'application (x₁,x₂,...,x_n)→(x_σ(1),x_σ(2),...,x_σ(n)) est une isométrie de E sur E_σ(1)×E_σ(2)×...×E_σ(n).

En outre, il résulte aussi de la définition de d que :

Pour tout point a=(a₁,a₂,...,a_n) de E et tout réel r>0, on a:

$B(a;r)=\prod_{i=1}^{n}B(a_{i};r)$ et

$B'(a;r)=\prod_{i=1}^{n}B'(a_{i};r)$ .

Si pour chaque i, 1≤i≤n, A_i est un ensemble ouvert dans (E_i,d_i), alors

$\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ est ouvert dans E.

En effet si a=(a₁,a₂,...,a_n)∈

$\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ , il existe des nombres r_i>0 tels que B(a_i;r_i)⊆A_i. Prenant r=Min(r₁,...,r_n), alors B(a;r)⊆

$\prod_{i=1}^{n}A_{i}$ .

Il résulte immédiatement de cela que :

Si pour chaque i, 1≤i≤n, on désigne par

$\mathfrak{T}$ _i la topologie induite sur E_i par la distance d_i, alors la topologie induite par la distance d est la topologie produit

$\mathfrak{T}$ ₁×

$\mathfrak{T}$ ₂×...×

$\mathfrak{T}$ _n

Soit

$\begin{cases} & f:F \to E=\prod_{i=1}^{n}E_{i} \\ & z \mapsto f(z)= (f_{1}(z),f_{2}(z),...,f_{n}(z) ) \end{cases}$
une application d'un espace métrique (F,d') dans un espace métrique produit (E,d).
Pour que f soit uniformément continue il faut et il suffit que les f_i (1≤i≤n) soient uniformément continues.

Cela résulte de la définition de la continuité uniforme et de la définition de la distance produit.

Il est remarquable que :

Dans un produit d'espaces métriques, les projections sont non seulement continues, mais uniformément continues.

Pour qu'une suite de Cauchy z_m=(z_1,m,z_2,m,...,z_n,m) d'un espace métrique produit soit une suite de Cauchy il faut et il suffit que chacune des n suites (z_i,m) (1≤i≤n) soit une suite de Cauchy.

Cela résulte de la définition d'une suite de Cauchy et de la définition de la distance produit.

Si E est un espace métrique et si d est la distance sur E, la distance produit d de E×E dans

$\mathbb{R}$ est uniformément continue.

Car |d(x,y)-d(x',y')|≤d(x,x')+d(y,y') d'après l'inégalité du triangle.

Si (E,d) est le produit des espaces métriques (E_i,d_i) (1≤i≤n) ; pour tout point a=(a₁,a₂,...a_n), les n applications x_i→(a₁,...,a_i-1,x_i,a_i+1,...a_n) sont des isométries de (E_i,d_i) sur le sous-espace fermé {a₁}×...×{a_i-1}×E_i×{a_i+1}×...×{a_n}.

Dans les hypothèses du résultat précédent si f est une application uniformément continue de E dans un espace métrique (F,d') chacune des n applications partielles x_i→ f(a₁,...,a_i-1,x_i,a_i+1,...a_n) est uniformément continue.

Cela résulte évidemment du fait que ces applications partielles sont composées de
x_i→(a₁,...,a_i-1,x_i,a_i+1,...a_n) avec f et du fait que la composée de deux applications uniformément continues est encore uniformément continue.

Remarque importante

Les deux fonctions définies sur E par :
$d'(x,y)=\sum_{i=1}^{n}d_{i}(x_{i},y_{i})$
$d''(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}d_{i}(x_{i},y_{i})^{2}}$
sont également des distances sur E et on a :
d(x,y)≤d"(x,y)≤d'(x,y)≤2d(x,y).
Ce qui entraîne que les trois distances sont Lipschitz-équivalentes, donc uniformément équivalentes, donc équivalentes et qu'elles définissent donc la même topologie. En particulier l'espace $\mathbb{R}$ ⁿ avec la distance euclidienne habituelle, n'est rien d'autre que le produit de n copies de $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle.

Propriétés héréditaires

Nous énonçons les théorèmes pour deux espaces nommés E et F, les résultats s'étendant immédiatement aux produits finis.

Cas des espaces topologiques généraux

Le produit de deux espaces discrets est discret.

Cela résulte du fait que les ensembles {(x,y)} sont ouverts car {(x,y)}={x}×{y}.

Le produit de deux espaces séparables est séparable.

Soit (x_n) (resp. y_n) un ensemble dénombrable dense dans E (resp.dans F).
Soit W un voisinage d'un point quelconque (x,y) du produit E×F, alors W contient un ouvert de la forme U×V où U et V sont non vides. Il existe un indice n₀ (resp. n₁)tel que x_n₀∈U (resp. y_n₁∈V). Alors (x_n₀,y_n₁)∈W. On conclut en remarquant que les couples (x_m,y_n) forment un ensemble dénombrable de points de E×Y.

Le produit de deux espaces compacts est compact.

Soit (U_λ) un recouvrement ouvert de E×F. Alors pour tout λ il existe un ouvert U_λ de E et un ouvert V_λ de F tels que W_λ⊆U_λ×V_λ.

Pour tout couple (x,y) il existe donc un indice λ(x,y) tel que (x,y)∈U_λ(x,y)×V_λ(x,y).
Pour un x donné de E les V_λ(x,y) recouvrent F, on peut donc en extraire une suite finie λ₁(x,y),...,λ_n(x,y), telle que les V_{λ_i(x,y)} recouvrent F.
Maintenant $U'_{x}=\bigcap_{i=1}^{n}U_{\lambda _{i}(x,y)}$ est un ouvert contenant x comme intersection finie d'ouverts contenant x (en fait ici n dépend de x, donc n=n(x)). On peut donc recouvrir E par une famille finie de tels ensembles U'_x₁, U'_x₂, ... ,U'_{x_m}, et pour chaque indice j 1≤j≤m il existe un entier n(j) tel que $F=\bigcup_{i=1}^{n(j)}V_{\lambda _{i}(x,y)}$ . De sorte que pour extraire de (U_λ) un recouvrement fini il suffit de faire prendre à j toutes les valeurs entre 1 et m et pour chaque j prendre tous les λ(j,i) (en nombre fini) tels que 1≤i≤n(j).

Le produit de deux espaces localement compacts est localement compact.

Cela résulte du théorème précédent et de la définition des voisinages dans un espace produit.

Le produit de deux espaces connexes est connexe.

Soient (a₁,a₂) et (b₁,b₂) deux points quelconques de E×F. Les ensembles {a₁}×F et E×{b₂} sont connexes car homéomorphes à des espaces connexes, il ont un point commun (a₁,b₂), donc leur réunion est connexe et elle contient à la fois (a₁,a₂) et (b₁,b₂) ; par suite la composante connexe de (a₁,a₂) dans E×F est E×F lui-même et E×F est connexe.

Le produit de deux espaces localement connexes est localement connexe.

Identique à la précédente en utilisant la définition des voisinages dans un espace produit.

Le produit de deux espaces connexes par arcs est encore connexe par arcs.

si t→x(t) est un chemin continu de a₁ à a₂ dans E et si t→y(t) est un chemin continu de b₁ à b₂ dans F, alors t→(x(t),y(t)) est un chemin continu de (a₁,b₁) à (a₂,b₂) dans E×F.

Cas des espaces métriques

Le produit de deux espaces bornés est borné.

Cela résulte de la définition de la distance produit.

Le produit de deux espaces complets est complet.

Car si ((x_n,y_n)) est une suite de Cauchy de E×F alors (x_n) est une suite de Cauchy dans E convergente vers un point x de E, (y_n) est une suite de Cauchy dans E convergente vers un point y de E et ((x_n,y_n)) converge vers (x,y).

Le produit de deux espaces précompacts est précompact.

Si (A_i) est un recouvrement de E par des ensembles de diamètre ≤ε et si (B_j) est un recouvrement de F par des ensembles de diamètre ≤ε, alors (A_i×B_j) est un recouvrement de E×F par des ensembles de diamètre ≤ε (définition de la distance produit).

Pour qu'un sous-ensemble A de E×F soit relativement compact, il faut et il suffit que les projections p₁(A) sur E et p₂(A) sur F le soient.

La nécessité provient de ce résultat, et du fait que p₁ et p₂ sont continues. La suffisance provient du théorème sur l'adhérence d'un produit, du théorème sur le produit de compacts, et du fait que tout sous-ensemble d'un ensemble relativement compact est relativement compact.

Produits d'une famille infinie d'espaces topologiques

Cas des espaces topologiques généraux

Nous considérons ici une famille (E_i, $\mathfrak{T}$ _i)_i∈I d'espaces topologiques où I et un ensemble quelconque (non nécessairement fini). Le produit ensembliste des ensembles (E_i)_i∈I est noté E. On considère les projections :

$\begin{cases} & p_{i}:E \to E_{i} \\ & x=(x_{i})_{i \in I} \mapsto p_{i}(x)=x_{i} \end{cases}$

On appelle topologie produit des

$\mathfrak{T}$ _i la moins fine des topologie sur E rendant continues les p_i. L'ensemble E muni de cette topologie s'appelle
l'espace produit de la famille (E_i,

$\mathfrak{T}$ _i)_i∈I
on note ceci :

$(E ,\mathfrak{T})=\prod_{i \in I}^{ }(E_{i},\mathfrak{T}_{i})$

En somme la définition ne diffère en rien du cas fini, et nous avons la même caractérisation de cette topologie :

$\mathfrak{T}$ est la topologie sur E admettant pour prébase les produits

$\prod_{j \in I}^{ }X_{j}$ où pour un certain i X_i est un ouvert de E_i et pour j≠i X_j=E_j et pour base les produits

$\prod_{j \in I}^{ }X_{j}$ où X_j est un ouvert de E_j pour j appartenant à un ensemble fini K⊆I et où pour j∉K X_j=E_j.

Un cas particulier important est celui où tous les E_i sont égaux au même ensemble F. Alors le produit E se confond avec l'ensemble F^I de toutes les applications de I dans F.

Dans ce cas

$\mathfrak{T}$ porte un nom particulier, on l'appelle la topologie de la convergence simple sur F^I.

En particulier si F est un espace métrique avec la distance d, une suite de fonctions f_n:I→F converge donc vers f si :
pour tout i∈I et tout ε>0 il existe un entier n₀, tel que n≥n₀⇒d(f_n(i),f(i))<ε

Cas des espaces métriques

Nous ne traiterons ici que le cas d'un produit dénombrable d'espaces métriques (E_n,d_n)_n≥1. Pour commencer nous faisons l'hypothèse supplémentaire suivante que tous les ensembles E_n sont bornés et de diamètre ≤1. Les élements du produit $E=\prod_{n=1}^{\infty }E_{n}$ sont donc des suites x=(x_n)_n≥1 telles que pour tout n x_n∈E_n. Nous posons maintenant $d(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{d_{n}(x_{n},y_{n})}{2^{n}}$ . Le premier résultat est le suivant :

d est une distance sur E

Il est évident que d est positive, symétrique et que d(x,y)=0 équivaut x=y car une série à termes positifs ne peut être nulle que si tous ses termes sont nuls. Le seul point qui n'est pas évident c'est l'inégalité du triangle. Mais d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) va résulter tout simplement de d_n(x_n,z_n)≤d_n(x_n,y_n)+d_n(y_n,z_n) et du théorème d'associativité pour les séries convergentes à termes positifs.

Pour tout x=(x_n)∈E, tout entier m≥1 et tout nombre réel r>0, soit V_m(x,r) l'ensemble de tous les y=(y_n) de E tels que d_k(x_k,y_k)<r pour 1≤k≤m. Les ensembles V_m(x;r) forment un système fondamental de voisinages de x dans E.

Si y∈V_m(x;r)alors

$d(x,y)\leq \sum_{n=1}^{m}\frac{r}{2^{n}}+\sum_{n=m+1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}\leq r(1-\frac{1}{2^{m}})+\frac{1}{2^{m}}$ donc si ε est un réel >0 donné en prenant r=ε/2 et en choisissant m suffisamment grand pour que 1/2^m<ε/2 on a bien V_m(x;r)⊆B(x;ε).

Il en résulte que :

La distance d définit la topologie produit sur E.

En effet la topologie engendrée par les ensembles

$\prod_{n=1}^{\infty }V_{n}$ où V_n est un ouvert pour un nombre fini de valeurs de n et V_n=E_n pour toutes les autres valeurs et la topologie engendrée par les ensembles

$\prod_{n=1}^{\infty }V_{n}$ où Vn est un ouvert pour les m premières valeurs de n et V_n=E_n pour toutes les autres valeurs sont les mêmes.

Considérons maintenant le cas où les espaces E_n ne sont plus nécessairement de diamètre 1. Pour tout n nous posons $d'_{n}=\frac{d_{n}}{1+d_{n}}$ alors d'_n est une distance sur E_n topologiquement équivalente à d_n. Nous construisons donc d comme ci-dessus à partir des d'_n et d définit la topologie produit sur E.

Exercices

Bases de l'analyse mathématique

Licence (L2 L3) – Prépas

Cas d'un produit fini d'espaces topologiques

Lien avec la continuité

Applications à valeurs dans un produit

Applications définies sur un produit

Cas d'un nombre fini d'espaces métriques

Remarque importante

Propriétés héréditaires

Cas des espaces topologiques généraux

Cas des espaces métriques

Produits d'une famille infinie d'espaces topologiques

Cas des espaces topologiques généraux

Cas des espaces métriques

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