Dans tout ce chapitre et les suivants, K désigne un corps qui peut être $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. K est muni d'une topologie d'espace métrique si K=$\mathbb{R}$ c'est la métrique usuelle (x,y)→|x-y| si K=$\mathbb{C}$ c'est la distance euclidienne classique du plan lorsqu'on identifie $\mathbb{C}$ et $\mathbb{R}$2.
On suppose parfaitement connue la structure de K-espace vectoriel. Dans tout ce qui suit E désigne un espace vectoriel sur le corps K. Nous supposons de plus que E est muni d'une topologie
En utilisant les structures produits, nous pouvons construire l'espace topologique E2=E×E, et l'espace topologique K×E. La structure de K-espace vectoriel de E nous donne donc deux applications dites 'canoniques':
La somme (x,y)→x+y de E2 dans E.
La multiplication par un scalaire (λ,x)→λx de K×E dans E.
On dit que E est un espace vectoriel topologique si les deux applications canoniques ci-dessus sont continues.
E est séparé si et seulement si $\left \{ \overrightarrow{0} \right \}$ est fermé.
E est séparé si et seulement l'intersection des voisinages de $\overrightarrow{0}$ est réduite à $\left \{ \overrightarrow{0} \right \}$.
Toute translation, par un vecteur quelconque de E est un homéomorphisme de E ans E.
La translation par x est continue, comme composée de l'addition par l'application qui à y associe (x,y), et sa réciproque est la translation par -x.
Toute homothétie de rapport non nul est aussi un homéomorphisme de E dans lui-même.
L'homothétie de rapport k est continue, comme composée de la loi externe par l'application qui à y associe (k, y), et sa réciproque est l'homothétie de rapport 1/k.
Pour qu'une application linéaire u d'un espace vectoriel topologique E dans un espace vectoriel topologique F soit continue il faut et il suffit qu'elle soit continue à l'origine de E.
La condition est évidemment nécessaire. elle est suffisante car la continuité en x se déduit de la continuité en 0 par composition avec la translation de vecteur x qui est un homéomorphisme.
Dans un e.v.t., l'adhérence $\overline{F}$ de tout sous-espace vectoriel F est un sous-espace vectoriel.
En effet, 0 ∈ F ⊂ $\overline{F}$ et l'on a $\overline{F}$ + $\overline{F}$ ⊂ $\overline{F + F}$ ⊂ $\overline{F}$ et, pour tout scalaire k, k$\overline{F}$ ⊂ $\overline{kF}$ ⊂ $\overline{F}$.
Quelques exemples
K est évidemment un espace vectoriel topologique sur lui-même.
Si (Ei)i∈I est une famille d'espaces vectoriels topologiques sur le même corps, l'espace vectoriel produit $E=\prod_{i\in I}^{ }E_{i}$ muni de la topologie produit, est un espace vectoriel topologique.
Cela résulte immédiatement de la définition des opérations algébriques sur un espace produit (somme et produit par un scalaire) et de la définition de la topologie produit.
Il en résulte aussitôt que les produits finis ou infinis d'exemplaires de K sont naturellement des espaces vectoriels topologiques. Ceci inclut les espaces Kn, mais aussi les espaces KK de toutes les applications de K dans K muni de la topologie de la convergence simple.
