Définitions
Soit E un espace topologique, x un point de E et V un sous-ensemble de E. On dit que V est un voisinage de x si V contient un ouvert contenant x.
Soit E un espace topologique, A une partie de E et V un sous-ensemble de E. On dit que V est un voisinage de A si V contient un ouvert contenant A.
Il résulte de ces définitions que :
V est un voisinage de A si et seulement si c'est un voisinage de chacun des points de A.
Un système fondamental de voisinages de A, est une famille Vi de voisinages de A, telle que tout voisinage de A contienne au moins un des Vi. La même définition s'applique pour un point (cas A={a}).
Exemples
Tout ensemble ouvert non vide est évidemment un voisinage de chacun de ses points.
Réciproquement si V est un voisinage de chacun de ses points alors V est ouvert.
En effet pour tout x de V soit Vx un ouvert contenant x et contenu dans V. La réunion des Vx est un ouvert contenant tous les points de V et contenu dans V, c'est donc V.
Dans un espace métrique une boule fermée B'(a,r) est un voisinage de chacun des points de la boule ouverte B(a,r).
Dans un espace métrique (E,d) pour tout sous-ensemble non vide A de E et tout réel r > 0, l'ensemble Vr(A)={x ∈ E | d(x,A) < r} est un voisinage de A.
En effet, si d(x,A) < r et d(x,y) < r-d(x,A) on a d(y,A) < d(x,A)+r-d(x,A)=r, donc Vr(A) est ouvert et il est évident qu'il contient A.
Dans un espace métrique (E,d) les boules de centre a et de rayon 1/n (n entier positif) forment un système fondamental de voisinages de a
Caractérisation des bases d'ouverts
Il est facile de caractériser les bases d'ouverts.
Pour qu'une famille (Gλ)λ∈L soit une base, il faut et il suffit que pour chaque x∈E et chaque voisinage V de x, il existe un indice λ∈L tel que x∈Gλ⊆V.
La condition est nécessaire car il existe par définition un voisinage ouvert W⊆V de x, et comme W est réunion d'ensembles Gλ, il existe au moins un indice μ tel que x∈Gμ. La condition est suffisante car, si elle est satisfaite, et si U est un ensemble ouvert arbitraire, pour chaque x∈U il existe un indice μ(x) tel que x∈Gμ(x)⊆U, donc $U\subset \bigcup_{x\in U}^{ }G_{\mu (x)}\subset U$ .