Différentes notions de convergence

On se place dans l'espace FA des fonctions définies sur A et à valeurs dans F, le sous-espace $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$ étant muni de la norme $\left \| f \right \|=\sup_{x\in A}\left \| f\left ( x \right ) \right \|$.
On considère dans cet espace une suite (fn), donc pour chaque x∈A une suite (yn) de points de F où yn=fn(x).

On dit que la suite (fn) est simplement convergente sur A vers une fonction f, si pour chaque x de A la suite (yn) converge dans F vers f(x).

Il résulte de cette définition qu'une suite de fonctions est simplement convergente vers f si et seulement si elle converge vers f pour la topologie produit de FA.
On suppose maintenant que les fn sont dans $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$.

On dit que (fn) est uniformément convergente vers la fonction f sur A si ∀ ε>0 il existe un entier n0 tel que :
$$n\geqslant n_{0}\Rightarrow \left \| f_{n}-f \right \|\leqslant \varepsilon $$

Compte tenu de la définition de la norme sur $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$, il en résulte pour tout ε>0 l'existence de n0 tel que :
$$n\geqslant n_{0}\Rightarrow \sup _{x \in A}\left \| f_{n}(x)-f(x) \right \|\leqslant \varepsilon $$
On a donc le résultat évident suivant :

La limite uniforme d'une suite de fonctions bornées est elle-même une fonction bornée.

et aussi :

La convergence uniforme implique la convergence simple.

Cependant la réciproque n'est pas vraie, comme le montre l'exemple suivant :
Prenons A=]0;1[ ⊆ ℝ et fn(x)=xn, la suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle sur A, mais la convergence n'est pas uniforme dans la mesure où pour chaque n on peut trouver un x∈A tel que fn(x) soit aussi près de 1 qu'on veut.
Comme dans le cas général d'un espace vectoriel normé une série dans FA consiste en la donnée de deux suites de fonctions (un) et (sn) reliées par
$$s_{n}\left ( x \right )=\sum_{i=0}^{n}u_{i}\left ( x \right )$$

On dit que la série converge simplement vers la fonction s ∈ FA si la suite (sn) converge simplement vers s.

En outre :

Si les un sont toutes bornées les sn sont également bornées et on dit que la série converge uniformément vers s sur A si la suite des sn converge uniformément vers s dans $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$.

De plus si F est un espace de Banach une condition nécessaire et suffisante pour que la série (un) converge uniformément vers s, est que
∀ε>0 il existe un entier n0 tel que pour tout entier n≥n0 et tout entier p≥0 et pour tout x∈A, on ait :
$$\left \| u_{n}(x)+u_{n+1}(x)+...+u_{n+p}(x) \right \|\leqslant \varepsilon $$

Cela résulte simplement du fait que $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$ est également un espace de Banach et qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite soit convergente est que ce soit une suite de Cauchy.

On dit que la série (un) de fonctions de $\mathfrak{B}_{F}\left ( A \right )$ est normalement convergente si la série à termes positifs (||un||) est convergente.

Si une série est normalement convergente elle est uniformément convergente.

Cela provient du théorème précédent et du fait que ∀x∈A ||uk(x)||≤||uk|| et que :
$$\left \| u_{n}(x)+u_{n+1}(x)+...+u_{n+p}(x) \right \|\leqslant \left \| u_{n}(x) \right \|+...+\left \| u_{n+p}(x) \right \| \leqslant \left \| u_{n} \right \|+...+\left \| u_{n+p} \right \|$$
Cependant la réciproque de ce théorème est fausse comme on le verra sur un contre-exemple dans la page des exercices.

Exercices

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