A désigne un dans tout ce chapitre un ensemble quelconque et F désigne un espace normé réel ou complexe.
On rappelle qu'une application f: A → F s'identifie avec un graphe, c'est à dire avec un élément du produit $\prod_{x\in A}^{ }F_{i}$ où pour chaque indice i F_i=F.
Ce produit est muni de la topologie produit. Pour cette topologie pour toute application f de A dans F et pour tout x∈A et tout ε>0 l'ensemble $\left \{ g \in F^{A} | \left \| g(x)-f(x) \right \| < \varepsilon \right \}$ constitue un voisinage de f.
Cependant, en toute généralité, l'espace topologique F^A n'est pas métrisable.
En outre F^A est muni naturellement d'une structure d'espace vectoriel produit.
La somme de deux fonctions f et g est définie point par point par (f+g)(x)=f(x)+g(x) ∀x ∈A.
Le produit du scalaire λ par la fonction f est défini par (λf)(x)=λf(x) ∀x∈A.
Cependant, le plus souvent, la topologie induite n'est définie par aucune norme.
Comme dans tout espace, et même dans tout ensemble, on peut définir dans F^A des suites de fonctions une telle suite (f_n)_n∈ℕ consiste en la donnée pour chaque x ∈A d'une suite de vecteurs de F (f_n(x)).
La notion de série existe aussi, la série $\sum_{0}^{\infty }f_{n}$ est la suite des sommes partielles $g_{n}=\sum_{i=0}^{n }f_{i}$.