Définition

Exemples

Exemple 1

Toute boule ouverte est un ensemble ouvert.

En effet si A=B(a,R) et si x ∈ A alors B(x,R-d(x,a))⊆ A

Exemple 2

Reprenons la la distance d₁ donnée en exemple.
Une droite D d'équation ax+by+c=0, sépare le plan en deux trois régions :

• Une région R₁ caractérisée par les points M(x,y) tels que
  ax+by+cz >0.
• la droite D elle-même.
• Une région R₂ caractérisée par les points M(x,y) tels que
  ax+by+cz <0.

Les régions D₁ et D₂ s'appellent des demi-plans ouverts, ce sont des sous-ensembles ouverts du plan.

En effet, on sait que pour tout point M(x,y) du plan la distance de M à D est donnée par.

$$d(M,D)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

donc si M ∈ R₁ et si P vérifie d(M,P)<d(M,D) alors P ∈ R₁

Exemple 3

L'exemple ci-dessus se généralise en dimension n. Reprenons la distance d₄ donnée en exemple. Un hyperplan H d'équation a₁x₁+a₂x₂+ ... + a_nx_n+c=0 , sépare l'espace en deux trois régions :

• Une région R₁ caractérisée par les points M(x,y) tels que
  a₁x₁+a₂x₂+ ... + a_nx_n+c >0.
• L'hyperplan H lui-même.
• Une région R₂ caractérisée par les points M(x,y) tels que
  a₁x₁+a₂x₂+ ... + a_nx_n+c <0.

Chacune des deux régions R₁ et R₂ (demi-espaces) est ouverte.

Exemple 4

Dans un espace discret tout ensemble est ouvert.

Exemple 5

Reprenons l'ensemble $\mathbb{R}$ ( avec la distance d₁ donnée en exemple). Un ensemble constitué d'un seul point comme {x} n'est pas ouvert, l'ensemble [0,+∞[ n'est pas ouvert.

Propriétés

C'est un argument de logique. Pour tout x l'assertion x ∈ &empty est toujours fausse, elle implique donc n'importe quoi.

Cela résulte évidemment de la définition.

Cela résulte évidemment de la définition.

Soient en effet A₁, A₂, ..., A_n des ensembles ouverts.
Soit $x\in \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$.
Pour chaque indice i soit r_i tel que B(x,r_i) ⊆ Ai.
Posons r= Inf _1≤i≤nr_i, alors :
$B(x,r)\subset \bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$

Il résulte de cette dernière proposition que dans le cas de l'espace euclidien $\mathbb{R}^{n}$ (la distance d₄ donnée en exemple.) Le complémentaire de tout sous-espace est un ensemble ouvert.
En effet tout sous-espace se présente comme une intersection d'hyperplans, le complémentaire d'un tel sous-espace est donc la réunion d'ensembles ouverts puisque le complémentaire d'un hyperplan est ouvert comme réunion de deux ouverts.

Il est important de bien comprendre que le qualificatif 'fini' est ici important.
Reprenons l'ensemble $\mathbb{R}$ ( avec la distance d₁ donnée en exemple).
Chacun des ensembles I_n=]-1/n,1/n[ pour n entier positif strictement est un ensemble ouvert, or l'intersection de cette famille (infinie) d'ensemble est égale à {0} et n'est pas un ensemble ouvert.

Exercices