Dans un espace normé E, on définit le segment joignant deux points a et b, comme l'ensemble des points a+ξ(b-a) avec ξ∈[0,1].
Remarque : cette définition a déjà été rencontrée sur cette page dans le cadre des ensembles convexes.
Soient E et F deux espaces de Banach, f une application continue d'un voisinage d'un segment S joignant deux points x0,x0+t de E et à valeurs dans F. Si f est différentiable en tout point de S alors :
$$\left \| f\left ( x_{0}+t \right )-f\left ( x_{0} \right ) \right \|\leqslant \left \| t \right \|.\sup_{0\leqslant \xi \leqslant 1}\left \| f'\left ( x_{0}+\xi t \right ) \right \|$$
$$\left \| f\left ( x_{0}+t \right )-f\left ( x_{0} \right ) \right \|\leqslant \left \| t \right \|.\sup_{0\leqslant \xi \leqslant 1}\left \| f'\left ( x_{0}+\xi t \right ) \right \|$$
Considérons l'application g de l'intervalle I=[0,1] dans F définie par g(ξ)=f(x0+ξt). D'après le théorème de dérivation des fonctions composées, et le théorème sur la dérivée d'une somme et la dérivée d'une application linéaire, g est différentiable en tout point de I (par rapport à I) et sa dérivée est f'(x0+ξt).t.
La preuve résulte alors de ce résultat et de cette inégalité.
La preuve résulte alors de ce résultat et de cette inégalité.
Le théorème précédent admet la conséquence immédiate suivante qui exprime que sous certaines hypothèses concernant sa dérivée, f satisfait à une condition de Lipschitz :
Soit U un ouvert convexe d'un espace de Banach E, et soit f: U→F une application différentiable d'un espace de Banach E à valeurs dans un espace de Banach F. Supposons que :$$\left \| f'(x) \right \|\leqslant M \text{ pour tout }x\in U$$
alors, quels que soient x1∈U et x2∈U on a : $$\left \| f(x_{1})-f(x_{2 }) \right \|\leqslant M\left \| x_{1}-x_{2} \right \|$$
alors, quels que soient x1∈U et x2∈U on a : $$\left \| f(x_{1})-f(x_{2 }) \right \|\leqslant M\left \| x_{1}-x_{2} \right \|$$
Et ce dernier résultat admet le corollaire suivant :
Sous les hypothèses précédentes, supposons que M=0, c'est à dire que ||f'(x)||=0 pour tout x∈U. Alors f est constante sur U.
Le résultat ci-dessus s'étend aux ensembles connexes.
Il suffit en effet d'utiliser la caractérisation des connexes dans un espace vectoriel normé réel.
Soient E, F deux espaces de Banach. Soit S un segment joignant deux points a et b dans E. Soit enfin U un voisinage ouvert de S et f une application différentiable de U dans F.
Sous ces hypothèses, pour tout point x0∈U , on a :$$\left \| f(b)-f(a) -f'(x_{0}.(b-a))\right \|\leqslant \left \| b-a \right \|.\sup_{x\in S}\left \| f'(x)-f'(x_{0}) \right \|$$
Sous ces hypothèses, pour tout point x0∈U , on a :$$\left \| f(b)-f(a) -f'(x_{0}.(b-a))\right \|\leqslant \left \| b-a \right \|.\sup_{x\in S}\left \| f'(x)-f'(x_{0}) \right \|$$
Il suffit d'appliquer le premier théorème de cette page à la fonction x→ f(x)-f'(x0).x, dont la dérivée est t→(f'(x)-f'(x0)).t d'après le théorème de linéarité de la dérivée et le théorème sur la dérivée des applications linéaires.