Systèmes orthonormaux

Si, avec les notations de la page précédente, on prend pour chaque En un espace à une dimension identifié avec le corps des scalaires pour le produit scalaire usuel
$\left ( \xi | \eta \right )= \xi\overline{\eta}$, la somme hilbertienne correspondante donne un exemple d'espace de Hilbert de dimension infinie E, noté habituellement
$\boldsymbol{l}_{K}^{2}$ où K désigne ℝ ou ℂ.
L'espace $\boldsymbol{l}_{K}^{2}$ est donc l'espace de toutes les suites $x=\left ( \xi _{n} \right ) _{n\in \mathbb{N}}$ de nombres réels ou complexes, telles que
$\sum_{n=0}^{\infty }\left | x_{n} \right |^{2}$ soit convergente, avec le produit scalaire
$\left ( x|y \right ) =\sum_{n=0}^{\infty }\xi _{n}\overline{\eta _{n}}$.

Dans $\boldsymbol{l}_{K}^{2}$ soit en la suite dont tous les termes sont nuls sauf le terme de rang n qui est égal à 1. On a alors on a alors (em|en)=0 pour m≠n et ||en||=1 pour tout n, et l'on a vu dans cette page, que l'on peut écrire
$x=\sum_{n=0}^{\infty }\xi _{n}e_{n}$. remarquons que ceci montre que la suite (en) est totale dans $\boldsymbol{l}_{K}^{2}$, donc que $\boldsymbol{l}_{K}^{2}$ est séparable.

Considérons maintenant un espace pré-hilbertien arbitraire F. on dit qu'une suite (finie ou infinie) (an) dans F est un 'système orthogonal'
si (am|an)=0 pour m≠n et an≠0 ∀n. On dit que (an) est un 'système orthonormal' si c'est un système orthonormal et si, en outre, ||an||=1 ∀n.

A partir d'un système orthogonal quelconque (an) on peut toujours fabriquer un système orthonormal en normalisant chaque vecteur (an), c'est à dire en prenant le système (bn),
où pour tout n $b_{n}=\frac{a_{n}}{\left \| a_{n} \right \|}$.

Nous venons de voir un exemple dans $\boldsymbol{l}_{K}^{2}$.

Soit maintenant (an) un système orthonormal arbitraire dans un espace de Hilbert F. Pour tout x∈F on dit que le nombre cn(x)=(x|an) est le 'n-ième coefficient', ou encore la 'n-ième coordonnée' ou encore le 'n-ième coefficient de Fourier' de x par rapport au système (an).

Nous avons alors le résultat suivant :

Dans un espace de Hilbert F soit (an) un système orthonormal, et soit V le sous-espace fermé de F engendré par les an. Alors pour tout x∈F, si PV(x) désigne la projection orthogonale de x sur V :

  1. La série $\sum_{n=0}^{\infty }\left | \left ( x|a_{n} \right ) \right |^{2}$ est convergente et on a l'inégalité dite de Bessel :
    $$\sum_{n=0}^{\infty }\left | \left ( x|a_{n} \right ) \right |^{2}=\left \| P_{V}\left ( x \right ) \right \|^{2}\leqslant \left \| x \right \|^{2}$$
    et
    $$\sum_{n=0}^{\infty }\left ( x|a_{n} \right )\overline{\left ( y|a_{n} \right )}=(P_{V}\left ( x \right )|P_{V}\left ( y \right ))$$
  2. La série de terme général (x|an)an est convergente dans F et on a :
    $$\sum_{n=0}^{\infty }\left ( x_{n} |a_{n}\right )a_{n}=P_{V}\left ( x \right )$$

Réciproquement, soit (λn) une suite de scalaires telle que $\sum_{n=0}^{\infty }\left | \lambda _{n} \right |^{2}$ soit convergente. Alors il existe un vecteur unique y∈V tel que (y|an)=λn, pour tout n. Tout autre vecteur x∈F tel que (x|an)=λn pour tout n est tel que x=y+z avec z orthogonal à V et réciproquement.

Pour tout x∈F, on peut écrire x=PV(x)+z avec z orthogonal à V. et on a par suite (x|an)=(PV(x)|an). pour démontrer le théorème, on peut donc supposer que V=F.
Mais alors les droites vectorielles Fn engendrées par les an, satisfont aux hypothèses de ce théorème. Les résultats ne sont alors autres que ce théorème appliqué à ce cas particulier en tenant compte de la définition d'une somme hilbertienne.

Le cas le plus intéressant est celui où V=F, c'est à dire le cas où le système orthonormal (an) est total.

On dit alors que (an) est une 'base orthonormale' pour F.

Par exemple (en) est une telle base pour $\boldsymbol{l}_{K}^{2}$. Pour un espace de Hilbert F et un système orthonormal total (an), dans le théorème ci-dessus on peut remplacer partout PV par l'identité.

Les relations
$$\sum_{n=0}^{\infty }\left | \left ( x|a_{n} \right ) \right |^{2}=\left \| x \right \|^{2}$$
$$\sum_{n=0}^{\infty }\left ( x|a_{n} \right )\overline{\left ( y|a_{n} \right )}=(x|y)$$
sont alors appelées les 'identités de Parseval'.

Il résulte du même théorème, que ces identités sont non seulement nécessaires mais aussi suffisantes pour que (an) soit un système total dans un espace de Hilbert.

Dans un espace de Hilbert F, pour qu'un système orthonormal (an) soit total, il faut et il suffit que les relations (x|an)= 0 ∀n impliquent x=0.

En effet, d'après le résultat précédent, cela signifie que la relation PV(x)=0 implique x=0, et ceci équivaut à la relation V=F, puisque PV(x-PV(x))=0.

Exercices

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