Dérivées successives

E et F désignent ici des espaces de Banach. L'espace des applications bilinéaires continues de E2 dans F se note suivant la coutume $\mathfrak{L}(E,E;F)$, nous le noterons également $\mathfrak{L}_{2}(E;F)$. De même l'espace des applications n-multilinéaires continues de En dans F sera noté $\mathfrak{L}_{n}(E;F)$.
U désigne un ouvert de E et f une application de U dans F supposée deux fois différentiable dans U. On peut se demander si l'application f":U→$\mathfrak{L}_{2}(E;F)$ est différentiable. Si c'est le cas la dérivée de f'' sera notée f(3) ou bien D3f. c'est alors une application définie sur U et à valeurs dans $\mathfrak{L}(E;\mathfrak{L}_{2}(E;F))\approx \mathfrak{L}_{3}(E;F)$.

Par récurrence sur n, on définit "f est n fois-différentiable au point a" si f est n-1 fois différentiable dans U et si la fonction f(n-1) est dérivable au point a.
Plus généralement si x est un point quelconque de U :
Dnf(x)=f(n)(x)=f(n-1)'(x)=Df(n-1)(x)=DDn-1f(x).
f(n)(a) s'appelle la dérivée n-ième de f en a.

Il résulte de la définition et des identifications faites qu'on peut supposer que f(n) prend ses valeurs dans $\mathfrak{L}_{n}(E;F)$.

On dit que f est de classe Cn sur U si f est n fois différentiable sur U et si f(n) est une fonction continue sur U.

Pour compléter cette définition pour la valeur n=0 on convient que les fonctions de classe C0 sont tout simplement les fonctions continues.

On dit que f est de classe C∞ sur U si f est de classe Cn sur U pour toutes les valeurs de n. on dit aussi que f est indéfiniment différentiable sur U.

Remarque: Il résulte des définitions que si p et q sont deux entiers tels que p+q=n DpDqf=Dnf.
Le théorème sur la symétrie de f'' se généralise ainsi :

Si f est n-fois différentiable en a, la dérivée f(n)(a)∈$\mathfrak{L}_{n}(E;F)$ est une application n-multilinéaire symétrique. Autrement dit si h=(h1,...,hn) est un vecteur de En et si σ est une permutation quelconque des entiers {1,2,...,n} on a:
$$f^{(n)}(a).(h_{1},...,h_{n})=f^{(n)}(a).(h_{\sigma (1)},...,h_{\sigma (n)})$$
La question ne se pose que pour n>2 puisque pour n=2 la démonstration a déjà été faite. Nous allons raisonner par récurrence sur n.
On peut donc supposer que f(n-1) est symétrique.
La valeur en h1 de la dérivée en a de la fonction x→ f(n-1)(x).(h2,...,hn) est (f(n)(a).h1).(h2,...,hn)=f(n)(a).(h1,...,hn).
Cette expression est donc inchangée, par hypothèse de récurrence, pour toute permutation σ laissant invariant h1.
Nous allons montrer maintenant que cette expression est inchangée si on permute h1 et h2.
Toujours par hypothèse de récurrence l'application f(n-2)(x) est symétrique pour tout x. C'est à dire que
f(n-2)(x).(h3,...,hn)=f(n-2)(x).(hσ(3),...,hσ(n)) pour tout permutation σ laissant invariant 1 et 2.
En prenant la dérivée seconde de cette application au point a on arrive au fait que l'expression :
(D2f(n-2)(a).(h1,h2)).(h3,...,hn)
est invariante si on échange h1 et h2 d'une part ou bien si on échange h2, ...,h3 sans toucher à h1 et h2 d'autre part.
Tout revient donc à démontrer qu'une permutation quelconque des entiers {1,2, ...,n} ne laissant pas invariant l'entier 1, peut s'écrire comme produit d'une transposition échangeant 1 et 2 avec une permutation des entiers {3,...,n}.
Mais si k est l'image de 1 par une telle permutation, en faisant intervenir la transposition τ intervertissant 2 et k, et en utilisant le fait que toute permutation est décomposable en un produit de transpositions nous obtenons le résultat voulu.

Exercices

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