K est ici une lettre désignant soit le corps ℝ des nombres réels, soit le corps ℂ des nombres complexes.
Un des buts de ce chapitre est de généraliser la notion de dérivée (supposée connue pour les fonctions définies sur K et à valeurs dans K) aux fonctions de plusieurs variables à valeurs dans un espace lui-même multi-dimensionnel, donc des fonctions de Kn dans Km.
L'approche 'classique', disons jusqu'au début du 20-ème siècle consistait à passer par les 'dérivées partielles' ; elle conduisait à des énoncés lourds et à des notations peu explicites.
L'approche moderne est due à Maurice Fréchet qui éclaircit les choses. Ce mathématicien de génie élargit le cadre de l'étude aux espaces de Banach, c'est à dire qu'il définit la dérivée d'une fonction définie sur un espace de Banach E et à valeurs dans un espace du même type F.
Par la suite, les idées de Fréchet sont répandues en France par des auteurs comme Jean Dieudonné et Henri Cartan dont les ouvrages (resp. Tome 1 des éléments d'analyse et Calcul différentiel) font référence pendant toute la seconde moitié du 20-ème siècle, et qui restent aujourd’hui des classiques incontournables.
On ne peut s'empêcher de reproduire mot pour mot une partie de l'introduction du Chapitre VIII de Jean Dieudonné :
" Cette présentation, qui s'insère de façon naturelle dans notre conception 'géométrique' de l'analyse a pour but de serrer de très près l'idée fondamentale du calcul différentiel à savoir l'approximation locale des fonctions par des fonctions linéaires. dans l'enseignement classique du calcul différentiel, cette idée est immédiatement cachée par le fait accidentel que, sur un espace à une dimension il existe une correspondance biunivoque entre les formes linéaires et les nombres, et, par suite, la dérivée en un point est définie comme un nombre au lieu d'une forme linéaire.
Plan du chapitre :
Bases de l'analyse mathématique
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