Formule de Taylor : cas particulier

Soient E,F et G trois espaces de Banach et φ:E×F→G une application bilinéaire continue. I désigne un intervalle ouvert de la droite ℝ. On considère deux applications u:I→E et v:I→F n+1 fois différentiables sur I.
Les dérivées successives u(i) et v(i) prennent donc leurs valeurs dans des espaces identifiés à E et F respectivement.
Dans ces conditions voici l'énoncé d'un lemme technique dont nous aurons besoin :

L'application :
$$t\rightarrow \sum_{p=0}^{n}(-1)^{p}\varphi \left ( u^{(p)}(t),v^{(n-p)}(t) \right )$$
de I dans G, a pour dérivée :
$$t\rightarrow \varphi (u(t),v^{(n+1)}(t))+(-1)^{n}\varphi (u^{(n+1)}(t),v(t))$$

Nous pouvons maintenant énoncer un théorème :

Si v est une fonction (n+1) fois différentiable d'une variable t d'un ouvert I de ℝ à valeurs dans un espace de Banach F, on a :
$$\frac{d}{dt}\left [ v(t)+(1-t)v'(t)+...+\frac{1}{n!}(1-t)^{n}v^{(n)}(t) \right ]=\frac{1}{n!}(1-t)^{n}v^{(n+1)}(t) \tag{1}$$
Il suffit d'appliquer le lemme précédent au cas particulier où E=ℝ, G=F, φ:ℝ×F→F étant la multiplication d'un vecteur de F par un scalaire et u étant la fonction :
$$u(t)=\frac{1}{n!}(1-t)^{n}$$
qui est de classe Cn+1 avec u(n+1)(t)=0.

Ce théorème admet un premier corollaire :

Supposons en outre que [0,1]⊆I et que v(n+1) soit continue, alors :
$$v(1)-v(0)-v'(0)-\frac{1}{2}v''(0)-...-\frac{1}{n!}v^{(n)}(0)=\int_{0}^{1}\frac{(1-t)^{n}}{n!}v^{(n+1)}(t)dt \tag{2}$$
Il suffit de constater que toutes les fonctions $\frac{(1-t)^{i}}{i!}v^{(i)}(t)$ sont continues sur le compact [0,1], elles sont donc en particulier réglées.
Il suffit alors d'appliquer ce résultat et d'utiliser la linéarité de l'intégrale.

Le théorème admet également un second corollaire :

Sous les hypothèses du théorème ci-dessus, supposons de plus que :
$$\left \| v^{(n+1)}(t) \right \|\leqslant M \text{ pour } t\in [0,1] \tag{3}$$
Alors on a:
$$\left \| v(1)-v(0)-v'(0)-\frac{1}{2}v''(0)-...-\frac{1}{n!}v^{(n)}(0) \right \|\leqslant \frac{M}{(n+1)!} \tag{4}$$
Soit f la fonction définie par :
$$f(t)=v(t)-(1-t)v'(t)-...-\frac{1}{n!}(1-t)^{n}v^{(n)}(t)$$
et soit g la fonction définie par :
$$g(t)=-M\frac{(1-t)^{n+1}}{(n+1)!}$$
Le théorème nous dit que :
$$\left \| f'(t) \right \|\leqslant \frac{(1-t)^{n}}{n!}\left \| v^{(n+1)}(t) \right \|$$
Donc, d'après l'hypothèse (3) :
$$\left \| f'(t) \right \|\leqslant \frac{(1-t)^{n}}{n!}M=g'(t)$$
Le théorème des accroissements finis permet de conclure :
||f(1)-f(0)||≤g(1)-g(0)
Ce qui donne précisément l'inégalité (4) à démontrer.

Les deux corollaires ci-dessus constituent des cas particuliers de la "formule de Taylor" que nous allons traiter dans le cas général, dans la page suivante.

Exercices

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