Soient E,F et G trois espaces de Banach et φ:E×F→G une application bilinéaire continue. I désigne un intervalle ouvert de la droite ℝ. On considère deux applications u:I→E et v:I→F n+1 fois différentiables sur I.
Les dérivées successives u(i) et v(i) prennent donc leurs valeurs dans des espaces identifiés à E et F respectivement.
Dans ces conditions voici l'énoncé d'un lemme technique dont nous aurons besoin :
L'application :
t→n∑p=0(−1)pφ(u(p)(t),v(n−p)(t))
de I dans G, a pour dérivée :
t→φ(u(t),v(n+1)(t))+(−1)nφ(u(n+1)(t),v(t))
t→n∑p=0(−1)pφ(u(p)(t),v(n−p)(t))
de I dans G, a pour dérivée :
t→φ(u(t),v(n+1)(t))+(−1)nφ(u(n+1)(t),v(t))
Il suffit d'appliquer le théorème de dérivation des fonctions bilinéaires continues, conjointement avec le théorème de dérivation des fonctions composées.
Nous pouvons maintenant énoncer un théorème :
Si v est une fonction (n+1) fois différentiable d'une variable t d'un ouvert I de ℝ à valeurs dans un espace de Banach F, on a :
ddt[v(t)+(1−t)v′(t)+...+1n!(1−t)nv(n)(t)]=1n!(1−t)nv(n+1)(t)
ddt[v(t)+(1−t)v′(t)+...+1n!(1−t)nv(n)(t)]=1n!(1−t)nv(n+1)(t)
Il suffit d'appliquer le lemme précédent au cas particulier où E=ℝ, G=F, φ:ℝ×F→F étant la multiplication d'un vecteur de F par un scalaire et u étant la fonction :
u(t)=1n!(1−t)n
qui est de classe Cn+1 avec u(n+1)(t)=0.
u(t)=1n!(1−t)n
qui est de classe Cn+1 avec u(n+1)(t)=0.
Ce théorème admet un premier corollaire :
Il suffit de constater que toutes les fonctions \frac{(1-t)^{i}}{i!}v^{(i)}(t) sont continues sur le compact [0,1], elles sont donc en particulier réglées.
Il suffit alors d'appliquer ce résultat et d'utiliser la linéarité de l'intégrale.
Il suffit alors d'appliquer ce résultat et d'utiliser la linéarité de l'intégrale.
Le théorème admet également un second corollaire :
Sous les hypothèses du théorème ci-dessus, supposons de plus que :
\left \| v^{(n+1)}(t) \right \|\leqslant M \text{ pour } t\in [0,1] \tag{3}
Alors on a:
\left \| v(1)-v(0)-v'(0)-\frac{1}{2}v''(0)-...-\frac{1}{n!}v^{(n)}(0) \right \|\leqslant \frac{M}{(n+1)!} \tag{4}
\left \| v^{(n+1)}(t) \right \|\leqslant M \text{ pour } t\in [0,1] \tag{3}
Alors on a:
\left \| v(1)-v(0)-v'(0)-\frac{1}{2}v''(0)-...-\frac{1}{n!}v^{(n)}(0) \right \|\leqslant \frac{M}{(n+1)!} \tag{4}
Soit f la fonction définie par :
f(t)=v(t)-(1-t)v'(t)-...-\frac{1}{n!}(1-t)^{n}v^{(n)}(t)
et soit g la fonction définie par :
g(t)=-M\frac{(1-t)^{n+1}}{(n+1)!}
Le théorème nous dit que :
\left \| f'(t) \right \|\leqslant \frac{(1-t)^{n}}{n!}\left \| v^{(n+1)}(t) \right \|
Donc, d'après l'hypothèse (3) :
\left \| f'(t) \right \|\leqslant \frac{(1-t)^{n}}{n!}M=g'(t)
Le théorème des accroissements finis permet de conclure :
||f(1)-f(0)||≤g(1)-g(0)
Ce qui donne précisément l'inégalité (4) à démontrer.
f(t)=v(t)-(1-t)v'(t)-...-\frac{1}{n!}(1-t)^{n}v^{(n)}(t)
et soit g la fonction définie par :
g(t)=-M\frac{(1-t)^{n+1}}{(n+1)!}
Le théorème nous dit que :
\left \| f'(t) \right \|\leqslant \frac{(1-t)^{n}}{n!}\left \| v^{(n+1)}(t) \right \|
Donc, d'après l'hypothèse (3) :
\left \| f'(t) \right \|\leqslant \frac{(1-t)^{n}}{n!}M=g'(t)
Le théorème des accroissements finis permet de conclure :
||f(1)-f(0)||≤g(1)-g(0)
Ce qui donne précisément l'inégalité (4) à démontrer.
Les deux corollaires ci-dessus constituent des cas particuliers de la "formule de Taylor" que nous allons traiter dans le cas général, dans la page suivante.