Hyperplans fermés et formes linéaires continues


Rappel sur les formes linéaires et les hyperplans

E étant un K-espace vectoriel, une forme linéaire est tout simplement une application linéaire de E dans K c'est à dire un élément de l'espace L(E,K) appelé le dual (algébrique) de K. Le noyau d'une forme linéaire f, noté Kerf(f) est l'ensemble des vecteurs dont l'image par f est nulle, c'est un sous-espace vectoriel de E.

Un hyperplan H d'un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E admettant pour supplémentaire une droite, c'est à dire tel qu'il existe un vecteur v∉H tel que E=H⊕Kv, c'est à dire que tout vecteur x de E peut s'écrire d'une manière unique sous la forme x=y+kv avec y∈H et k∈K. Les hyperplans sont des sous-espaces maximaux au sens que si H est un hyperplan les seuls sous-espaces de E contenant H sont H et E lui-même.

On en déduit immédiatement le résultat suivant:

Dans un espace vectoriel topologique, tout hyperplan est soit fermé soit dense
Cela résulte simplement du fait que l'adhérence d'un hyperplan H est un sous-espace vectoriel et que si c'est E alors par définition H est dense, si c'est H, alors H est fermé.

Le lien entre les formes linéaires et les hyperplans est explicité ci-après:

Si f est une forme linéaire non nulle, Ker(f) est un hyperplan. Réciproquement si H est un hyperplan, il existe au moins une forme linéaire dont H est le noyau. Si f1 et f2 sont deux formes linéaires ayant le même hyperplan H pour noyau alors elles sont proportionnelles , c'est à dire que f1=αf2 où α est un scalaire non nul de K.


Caractérisation des formes linéaires continues

Toutes les formes linéaires sur un espace normé E, ne sont pas forcément continues. Prenons par exemple pour E l'espace vectoriel des fonctions polynômes avec pour norme $||P||=\sup_{x\in \left [ 0,1 \right ]}\left | P(x) \right |$ alors si on pose Pn(x)=(x/2)n, (Pn) est clairement une suite de polynômes convergeant vers 0 pour la norme proposée. Posons maintenant f(P)=P(4) alors f(Pn)=2n. On voit que f(Pn) tend vers +∞, si f était continue f(Pn) devrait tendre vers 0.

Cependant il existe des formes linéaires continues. Prenons par exemple l'espace E de toutes les applications bornées sur l'intervalle [0,1] avec la norme ||u||=Supx∈[0,1]|u(x)| et considérons l'application f:u→u(0). Si ||u||≤1 on a bien évidemment |f(u)|=|u(0)|≤1, donc f est continue d'après les résultats de cette page.

Dans un espace vectoriel E sur K (K=$\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), soit H un hyperplan d'équation f(x)=0 (donc noyau de la forme linéaire f). Pour que H soit fermé dans E il faut et il suffit que f soit continue. Pour tout b∉H, E est alors somme directe topologique de H et de la droite Kb.
Il est clair que si f est continue H=f-1({0}) est fermé comme image réciproque d'un singleton.
Pour démontrer la réciproque considérons a∉H tel que f(a)=1. Comme H est fermé il en est de même de a+H image réciproque du fermé {a}×H par l'application continue (x,y)→x+y. Comme 0∉a+H il existe une boule V: ||x||≤r qui ne rencontre pas a+H. Par suite, x∈V⇒f(x)≠1. Montrons que x∈V⇒|f(x)|≤1. Supposons le contraire et soit et soit α=f(x) avec x∈V et |α|>1; alors ||x/α||=(1/|α|)||x||<r et f(x/α)=1 ce qui contredit la définition de V. f étant bornée sur une boule est bornée sur la boule unité et est donc continue.
Si b∉H on a x=λb+y de façon unique avec y∈H posons λ=g(x), g est alors une forme linéaire de noyau H tout comme f. g est donc continue et l'application x→(g(x),b) est continue donc par composition l'application x→g(x)b (projection sur la droite Kb est continue. Ceci démontre la dernière partie de notre assertion.

Exercices

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