Dans le théorème de Stone-Weierstrass prenons pour E une partie compacte quelconque de ℝn, et pour A l'algèbre des restrictions à E des polynômes par rapport aux n coordonnées.
La condition de séparation est satisfaite, puisque pour deux points distincts de ℝn au moins l'une des coordonnées à des valeurs différentes. On retrouve donc le théorème de Weierstrass sous sa forme initiale.
Prenons maintenant pour E l'intervalle [0,1] et considérons les fonctions continues à valeurs complexes, périodiques de période 1. Prenons pour A l'algèbre complexe constituée par les polynômes trigonométriques, c'est à dire les combinaisons linéaires des fonctions e2πint pour n∈ℤ.
Ces polynômes trigonométriques sont donc les fonctions pouvant s'écrire $\sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{2\pi ikt}$. Comme la fonction e2πit sépare les points, les conditions de ce théorème sont vérifiées, donc :
La norme du sup $$\left \| f \right \|_{\infty }=sup_{t\in [0,1]}\left | f(t) \right |$$
La norme issue du produit scalaire $$\left \| f \right \|_{2 }=\sqrt{\int_{0}^{1}\left | f(t) \right |^{2}dt}$$
Or il est clair que toute suite convergente pour la première norme converge aussi pour la seconde.
On vérifie en outre immédiatement que c'est un système orthogonal.
Soit (Un) une base dénombrable pour la topologie de E, et pour tout n nous posons gn(t)=d(t,E-Un)
Les monômes $g_{1}^{k_{1}}g_{2}^{k_{2}}...g_{n}^{k_{n}}$ forment aussi un ensemble dénombrable (hn), et l'espace vbectoriel A engendré par les hn est la sous-algèbre de $\mathfrak{C}_{\mathbb{R}}(E)$ engendrée par les gn.
Si l'on prouve que A est dense dans $\mathfrak{C}_{\mathbb{R}}(E)$ la démonstration sera terminée. mais il nous suffit d'appliquer le théorème de Stone-Weierstrass en remarquant que la famille (gn) sépare les points. Or si x≠y il existe un Un tel que x∈Un et y∉Un et par définition gn(x)≠0 et gn(y)=0.