Produits finis d'espaces normés

Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels normés. L'ensemble produit E1×E2 est muni d'une structure d'espace vectoriel avec les lois d'addition (x1,x2)+(y1,y2)→ (x1+y1,x2+y2) et de multiplication par un scalaire λ(x1,x2)=(λx1,λx2).

Posons alors ||(x1,x2)||=Sup(||x1||,||x2||), nous obtenons une norme sur E1×E2 qui en fait un espace normé, appelé espace produit de E1 et E2.

On vérifie immédiatement en outre qu'en tant qu'espace métrique l'espace normé produit E1×E2 est le produit des espaces métriques E1 et E2 avec les distances induites par les normes et que tous les théorèmes sur les produits finis de tels espaces s'appliquent. En particulier si E1 et E2 sont complets (de Banach), il en est de même de leur produit.

Les injections 'naturelles' x1→(x1,0) et x2→(0,x2) sont des isométries linéaires sur les sous-espaces fermés E'1=E1×{0} et E'2={0}×E2 qui sont souvent identifiés à E1 et E2, en outre E est somme directe de ces sous-espaces, qui sont souvent identifiés à E1 et E2.

Supposons inversement que E soit somme directe de deux sous-espaces vectoriels F1 et F2 ; tout x de E peut s'écrire de manière x=p1(x)+p2(x) avec p1(x)∈F1 et p2(x)∈F2 et p1 et p2 sont des applications linéaires de E dans F1 et F2 respectivement (projections). L'application "naturelle" (y1,y2)→y1+y2 est une bijection linéaire qui est continue d'après la définition des espaces normés, mais qui n'est pas nécessairement bicontinue.

Pour que l'application (y1,y2)→y1+y2 soit un homéomorphisme de F1×F2 sur E, il faut et il suffit que l'une des deux applications linéaires p1, p2 soit continue.

Remarquons que puisque x=p1(x))+p2(x) si l'une des deux applications p1,p2 est continue, l'autre l'est aussi. La conclusion résulte du fait que x→(p1(x),p2(x)) est l'application réciproque de (y1,y2)→y1+y2 et des résultats sur la continuité des fonctions à valeurs dans un produit.

Lorsque la condition de l'énoncé précédent est satisfaite, E est appelé somme directe topologique de F1 et F2. Soit F un sous-espace de E et soit G un autre sous-espace tel que E soit somme directe topologique de F et G, on dit alors que G est appelé un supplémentaire topologique de F dans E.

Tout sous-espace F de E qui admet un supplémentaire topologique est nécessairement fermé d'après ce résultat, mais il peut exister des sous-espaces fermés qui n'admettent pas de supplémentaire topologique. Il n'existe toutefois pas d'exemples simples de cette situation. Le lecteur intéressé est renvoyé aux références suivantes :
Complementary subspace problem
Complemented subspace

Les définitions et résultats de cette page s'appliquent immédiatement par récurrence à des produits d'un nombre fini d'espaces normés.

Exercices

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