Très souvent la norme d'un espace normé découle d'un produit scalaire. Cela implique une notion nouvelle, celle d'orthogonalité. Les espaces de Hilbert sont la généralisation immédiate des espaces Rn munis de la norme euclidienne habituelle.
La notion de base orthonormale existe mais le plus souvent, au lieu de bases, et dans le cas séparable, nous aurons des suites totales. Dans ce cas le produit scalaire et l'expression de la norme prendront la forme de la somme de séries convergentes. Nous aurons ainsi un modèle standard d'espace de Hilbert séparable, l'espace l2(K).