Nous voyons ici que les applications linéaires continues sont en fait uniformément continues et que dans le cas de la linéarité simple elles vérifient une condition de Lischitz.
Soient E1,...,En n espaces normés, F un espace normé, u une application multilinéaire de E1×...×En dans F. Pour que u soit continue, il faut et il suffit qu'il existe un nombre a>0 tel que, pour tout (x1,...,xn)∈E1×...×En,
||u(x1,...,xn)||≤a.||x1||.||x2||...||xn||.
||u(x1,...,xn)||≤a.||x1||.||x2||...||xn||.
Faisons la démonstration dans le cas où n=2.
- Suffisance. Pour montrer que u est continue en un point quelconque (c1,c2)
on écrit
u(x1,x2)-u(c1,c2)=u(x1-c1,x2)+u(c1,x2-c2), et par suite
||u(x1,x2)-u(c1,c2)||≤a(||x1-c1||.||x2||+||c1||.||x2-c2||).
Si δ est un nombre tel que 0<δ<1, supposons que ||x1-c1||≤δ et ||x2-c2||≤δ.
Nous avons alors ||x2||≤||c2||+1 et :
||u(x1,x2)-u(c1,c2)||≤a(||c1||+||c2||+1)δ qui est arbitrairement petit avec δ - Nécéssité.
Compte tenu de la définition de la norme sur un espace produit et de la continuité en un point, si u est continue elle est continue en (0,0) et il existe une boule B={(x1,x2)|Sup(||x1||,||x2||)≤r} dans E1×E2, telle que (x1,x2)∈B⇒||u(x1,x2)||≤1.
Considérons maintenant un point arbitraire (x1,x2) et supposons d'abord x1≠0 et x2≠0. Alors si z1=rx1/||x1||, z2=rx2||/||x2||, on a ||z1||=||z2||=r et par suite ||u(z1,z2)||≤1. Mais u(z1,z2)=r²u(x1,x2)/||x1||.||x2|| et par suite si on pose a=1/r² on a ||u(x1,x2)||≤a||x1||.||x2||.
Si x1=0 ou x2=0 on a u(x1,x2)=0 et l'inégalité précédente reste valable.
Nous examinons maintenant le comportement des applications linéaires vis à vis des séries absolument convergentes.
Soit u une application linéaire continue d'un espace de Banach E dans un espace de Banach F. Si (xn) est une série convergente (resp. absolument convergente) dans E, (u(xn)) est une série convergente (resp. absolument convergente) dans F et $\sum_{n}u(x_{n})=u\left ( \sum_{n}x_{n}\right )$
La convergence de la série (u(xn)) et la relation $\sum_{n}u(x_{n})=u\left ( \sum_{n}x_{n}\right )$ résulte de la continuité de u, de sa linéarité puisque $\sum_{k=0}^{n}u(x_{k})=u\left ( \sum_{k=0}^{n}x_{k}\right )$ et enfin de la définition de la limite d'une série convergente.
Du théorème précédente nous déduisons l'existence d'une constante a>0 telle que ||u(xn)||≤a||xn|| donc la série (u(xn)) est absolument convergente si (xn) l'est.
Du théorème précédente nous déduisons l'existence d'une constante a>0 telle que ||u(xn)||≤a||xn|| donc la série (u(xn)) est absolument convergente si (xn) l'est.
Soient E,F et G trois espaces de Banach et u une application bilinéaire continue de E×F dans G. Si (xn) est une série absolument convergente de E, (yn) une série absolument convergente de F, alors la famille (u(xm,yn)) est absolument sommable et l'on a : $$\sum_{m,n}u(x_{m},y_{n})=u\left ( \sum_{n}x_{n}, \sum_{n}y_{n}\right )$$
La démonstration, analogue à la précédente, découle de la bilinéarité de u, de sa continuité et des résultats sur les séries multiples.
Nous appliquons maintenant les théorèmes généraux de prolongement des applications continues au cas particulier des applications linéaires.
Soient E un espace normé, F un espace de Banach, G un sous-espace dense de E, f une application linéaire continue de G dans F. Alors il existe une application linéaire continue unique $\overline{f}$ de E dans F qui est un prolongement de f.
De la première proposition il résulte que f est uniformément continue sur G. Par suite, d'après ce résultat, il existe un prolongement continu unique $\overline{f}$ de f à E. Le fait que $\overline{f}$ est linéaire résulte de ceci ainsi que du prolongement des identités.