Ensembles fermés - Adhérence

Ensembles fermés

Définition

Dans un espace topologique E un sous-ensemble A est dit fermé si son complémentaire est ouvert.

Exemples

Dans un espace discret tout sous-ensemble est fermé.

Dans un espace topologique grossier, les seuls fermés sont E et ∅

Dans $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle :

  • Un intervalle fermé [a,b] est fermé.
  • Un intervalle [a;+∞[ est fermé.
  • Un intervalle ]-∞ ;a] est fermé.

Dans un espace topologique séparé, les points sont fermés

Dans un espace métrique :

  • Les boules fermées sont femées.
  • Les sphères sont fermées.

Dans l'espace $\mathbb{R}^{n}$ muni de la distance euclidienne usuelle, les sous-espaces vectoriels sont fermés.

Propriétés

Il résulte des définitions et des propriétés des ouverts que :

  • L'ensemble vide ∅ est fermé.
  • E est fermé.
  • Toute intersection de fermés est un fermé.
  • Une réunion d'une famille finie de fermés est un fermé.

Adhérence

Définitions

E désigne un espace topologique et A un sous-ensemble de E.

L'adhérence de A, notée $\overline{A}$ est l'intersection de tous les fermés contenant A.

Il résulte immédiatement de la définition que $\overline{A}$ est un fermé, que c'est le plus petit fermé contenant A et que c'est le complémentaire de l'extérieur de A.

Un point x est dit adhérent à A si tout voisinage de x contient un point de A.

Il resulte des définitions et de la propriété ci-dessus que :

$\overline{A}$ est exactement constitué des points adhérents à A au sens précédent.
La frontière de A, notée Fr(A), est l'intersection de $\overline{A}$ et de $\overline{E-A}$

Tout point frontière x de A est donc caractérisé par la propriété que tout voisinage V de x contient un point de A et un point de E-A.

Exemples

L'adhérence de tout ensemble fermé est égale à lui-même.

Dans $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle :

  • L'adhérence de ]a,b[ est [a,b].
  • L'adhérence de ]a,b] est [a,b].
  • L'adhérence de [a,b[ est [a,b].
  • L'adhérence de ]a,+∞[ est [a,+∞[.
  • L'adhérence de $\mathbb{Q}$ est $\mathbb{R}$.

Dans $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle :

  • La frontière de ]a,b[ est {a;b}.
  • La frontière de ]a,b] est {a;b}.
  • La frontière de [a,b[ est {a;b}.
  • La frontière de ]a,+∞[ est {a}.
  • La frontière de $\mathbb{Q}$ est ∅.

Propriétés

Si A ⊆ B alors $\overline{A}$ ⊆ $\overline{B}$.
Pour tout couple d'ensembles A,B on a $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$.
Dans un espace métrique (E,d), pour qu'un point x soit adhérent à A il faut et il suffit que d(x,A)=0.

Il en résulte aussitôt que:

L'adhérence d'un ensemble A est l'intersection des voisinages Vr(A) de A.
Dans un espace métrique E, tout ensemble fermé est l'intersection d'une suite décroissante d'ensembles ouverts ; tout ensemble ouvert est la réunion d'une suite croissante d'ensembles fermés.

On démontre le premier résultat en considérant les ensembles ouverts V1/n(A), et le second par passage aux complémentaires.

Fr(A)=Fr(E-A).
Dans un espace métrique E. Si un point frontière x de A qui n'appartient pas à A, alors pour tout voisinage V de x V ∩ A est infini.

Supposons en effet le contraire et soit V∩A={y1, ...,yn} posons rk=d(x,yk). Soit r > 0 tel que B(x;r) ⊆ V et r < Min(r1, ...,rn) ; alors l'intersection de A et B(x;r) serait vide ce qui est contraire à l'hypothèse.

Nous énonçons maintenant un résultat intuitif :

Si $\mathfrak{C}$ est une courbe dans un espace topologique (E,$\mathfrak{T}$) et si A est un sous-ensemble de E tel que $\mathfrak{C}$ passe par un point de A et par un point de E-A, alors $\mathfrak{C}$ passe nécessairement par un point frontière de A.

En désignant la courbe par B ce résultat est une conséquence du théorème plus général suivant :

Soit A un sous-ensemble d'un espace topologique (E,$\mathfrak{T}$). Si B est un sous-ensemble connexe de E tel que A∩B et (E-A)∩B soient tous deux non vides, alors (Fr(A))∩B n'est pas vide. En particulier, si E est connexe, tout sous-ensemble A distinct de E et de ∅ a au moins un point frontière.
Supposons que (Fr(A))∩B=∅ ; soit A'=E-A ; comme E est la réunion de $\overset{o}{A}$, $\overset{o}{A'}$ et Fr(A), B serait réunion de U=$\overset{o}{A}$∩B et V=$\overset{o}{A'}$∩B, qui sont tous deux ouverts dans B et non vides par hypothèse (car un point de A∩B doit apartenir à $\overset{o}{A}$∩B puisque Fr(A)∩B=∅ et pareillement pour A'∩B) ; comme U∩V=∅, ceci serait contraire à l'hypothèse que B est connexe.

Exercices

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