Ensembles fermés
Définition
Exemples
Dans un espace discret tout sous-ensemble est fermé.
Dans un espace topologique grossier, les seuls fermés sont E et ∅
Dans $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle :
- Un intervalle fermé [a,b] est fermé.
- Un intervalle [a;+∞[ est fermé.
- Un intervalle ]-∞ ;a] est fermé.
Dans un espace topologique séparé, les points sont fermés
Dans un espace métrique :
- Les boules fermées sont femées.
- Les sphères sont fermées.
Dans l'espace $\mathbb{R}^{n}$ muni de la distance euclidienne usuelle, les sous-espaces vectoriels sont fermés.
Propriétés
Il résulte des définitions et des propriétés des ouverts que :
- L'ensemble vide ∅ est fermé.
- E est fermé.
- Toute intersection de fermés est un fermé.
- Une réunion d'une famille finie de fermés est un fermé.
Adhérence
Définitions
E désigne un espace topologique et A un sous-ensemble de E.
Il résulte immédiatement de la définition que $\overline{A}$ est un fermé, que c'est le plus petit fermé contenant A et que c'est le complémentaire de l'extérieur de A.
Il resulte des définitions et de la propriété ci-dessus que :
Tout point frontière x de A est donc caractérisé par la propriété que tout voisinage V de x contient un point de A et un point de E-A.
Exemples
L'adhérence de tout ensemble fermé est égale à lui-même.
Dans $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle :
- L'adhérence de ]a,b[ est [a,b].
- L'adhérence de ]a,b] est [a,b].
- L'adhérence de [a,b[ est [a,b].
- L'adhérence de ]a,+∞[ est [a,+∞[.
- L'adhérence de $\mathbb{Q}$ est $\mathbb{R}$.
Dans $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle :
- La frontière de ]a,b[ est {a;b}.
- La frontière de ]a,b] est {a;b}.
- La frontière de [a,b[ est {a;b}.
- La frontière de ]a,+∞[ est {a}.
- La frontière de $\mathbb{Q}$ est ∅.
Propriétés
Il en résulte aussitôt que:
On démontre le premier résultat en considérant les ensembles ouverts V1/n(A), et le second par passage aux complémentaires.
Supposons en effet le contraire et soit V∩A={y1, ...,yn} posons rk=d(x,yk). Soit r > 0 tel que B(x;r) ⊆ V et r < Min(r1, ...,rn) ; alors l'intersection de A et B(x;r) serait vide ce qui est contraire à l'hypothèse.
Nous énonçons maintenant un résultat intuitif :
En désignant la courbe par B ce résultat est une conséquence du théorème plus général suivant :