A chaque fois qu'on définit des objets structurés à partir de la notion d'ensemble (par exemple en algèbre des groupes, des anneaux, des corps, des espaces-vectoriels) on s'empresse de définir sur des sous-ensembles de l'ensemble sous-jacent des structures héritées (sous-groupes, sous-anneaux, sous-corps, sous-espaces vectoriels). Nous allons encore faire ce travail ici de façon naturelle pour les espaces métriques d'abord, puis plus généralement pour tous les espaces topologiques.
La restriction de d à F×F, que nous continuerons à noter d, vérifie bien évidemment les axiomes d'une distance que nous appellerons distance induite sur F de sorte que (F,d) devient à son tour un espace métrique à part entière, que nous qualifierons de sous-espace de l'espace (E,d).
Première proposition (dont toutes les autres vont découler).
Pour qu'un sous-ensemble B de F soit ouvert dans le sous-espace métrique (F,d) de (E,d) il faut et il suffit qu'il existe un ensemble ouvert A dans E, tel que B=A∩F.
Si a ∈ F, F ∩ B(a;r) est la boule ouverte de centre a et de rayon r dans le sous-espace (F,d). Si A est ouvert dans E et si x ∈ A∩F, il existe r>0 tel que B(x;r) ⊆ A, donc x ∈ F∩B(x;r) ⊆ A∩F, ce qui montre que F∩A est ouvert dans (F,d). Réciproquement, si B est ouvert dans le sous-espace (F,d), pour chaque x ∈ B, il existe un nombre r(x)>0, tel que F∩B(x;r(x)) ⊆ B. Ceci montre que $B=\bigcup_{x\in B}^{ }(F\cap B(x;r(x)))=F\cap A$, avec $A=\bigcup_{x\in B}^{ }B(x;r(x))$ et A ouvert dans (E,d) comme réunion de boules ouvertes.
Pour que tout sous-ensemble B ouvert dans (F,d) soit ouvert dans (E,d), il faut et il suffit que F soit ouvert dans (E,d).
On voit que la condition est nécessaire en prenant B=F ; elle est suffisante en vertu du résultat précédent et du fait qu'une intersection finie d'ouverts est un ouvert.
Les deux propriétés qui suivent résultent immédiatement de ce qui précède et de la définition d'un voisinage :
Si x ∈ F, pour qu'un sous-ensemble W de F soit un voisinage de x dans (F,d), il faut et il suffit que W=V∩F, où V est un voisinage de x dans (E,d).
Pour que tout voisinage dans (F,d) d'un point x ∈ F soit un voisinage de x dans (E,d), il faut et il suffit que F soit un voisinage de x dans (E,d).
La proposition qui suit est le pendant de notre première proposition pour les ensembles fermés de la métrique induite.
Pour qu'un ensemble B ⊆ F soit fermé dans le sous-espace (F,d), il faut et il suffit qu'il existe un ensemble fermé A dans (E,d) tel que B=A∩F.
Dire que B est fermé dans (F,d) signifie que F-B est ouvert dans (F,d), donc est équivalent, d'après notre première proposition à l'existence d'un ouvert C dans (E,d) tel que $F-B=C∩F$ mais cette relation est équivalente à $B=F∩(E-C)$ d'où le résultat.
De la même façon, on en déduit que :
Pour que tout sous-ensemble B de F fermé dans (F,d) soit fermé dans (E,d) il faut et il suffit que F soit fermé dans (E,d).
L'adhérence, par rapport à (F,d), d'un sous-ensemble B de F, est égale à $\overline{B}\cap F$ où $\overline{B}$ est l'adhérence de B dans (E,d).
En effet, pour tout voisinage V de x∈F dans E, on a V∩B=(V∩F)∩B, d'où le résultat en vertu de notre première proposition et de la définition d'un point adhérent.
Les sous ensembles denses possèdent une propriété particulière.
Supposons que F soit un sous-ensemble dense de (E,d). Pour tout point x de F et tout voisinage W de x dans (F,d), l'adhérence $\overline{W}$ de W dans (E,d) est un voisinage de x dans (E,d).
Par définition, il existe un voisinageouvert U de x dans E tel que U∩F⊆W ; il suffit de montrer que $U⊆\overline{W}$. Mais si y∈U et si V est un voisinage quelconque de y dans E, U∩V est un voisinage de y dans E, donc F∩(U∩V) n'est pas vide, ce qui signifie que (F∩U)∩V n'est pas vide donc que $y∈\overline{F∩U}⊆\overline{W}$.
Il suffit pour cela d'utiliser la caractérisation des espaces métriquesséparables donnée dans la page précédente.
En effet, si (Gn) est une base au plus dénombrable pour les ensembles ouverts de E, les ensembles Gn∩F forment une base au plus dénombrable pour les ensembles ouverts de F⊆E.
Cas des espaces topologiques
La première proposition du paragraphe précédent nous suggère une définition d'un sous-espace topologique.
Si $(E,\mathfrak{T})$ est un espace topologique et si F est un sous-ensemble de E, nous convenons d'appeler ouvert de F toute trace sur F d'un ouvert de E. Nous définissons ainsi une famille $\mathfrak{S}$ de parties de F, par :
$$X ∈\mathfrak{S} ⇔ X \cap F ∈ \mathfrak{T}$$
On définit ainsi de façon évidente une topologie $\mathfrak{S}$ sur F et l'espace $(F,\mathfrak{S})$ est appelé sous-espace ou encore espace induit par $\mathfrak{T}$.
Il est clair qu'avec cette définition toutes les propriétés précédentes des sous-espaces métriques, à l'exception de la séparabilité, restent valables pour les sous-espaces topologiques.
