On sait qu'une courbe dans le plan peut être représentée sous forme explicite comme le graphe d'une fonction, mais aussi sous forme d'une équation 'implicite', c'est à dire une équation de type f(x,y)= 0 où f est une fonction de deux variables.
Il est clair que le passage de la forme explicite à la forme implicite est évident y=φ(x) ⇔ f(x,y)=0 avec f(x,y)=y-φ(x).
Exemple: Le cercle de rayon 1 peut être représenté par l'équation implicite x2+y2=1. Par contre on ne peut exprimer le cercle globalement comme le graphe d'une fonction de ℝ dans ℝ pour la bonne et unique raison qu'un même point ne peut avoir deux images.
L'expression $y=\sqrt{1-x^{2}}$ définit une fonction de ℝ dans ℝ dont le graphe est le demi-cercle supérieur, de même que $y=-\sqrt{1-x^{2}}$ définit une fonction de ℝ dans ℝ dont le graphe est le demi-cercle inférieur.
Par contre le cercle ne se confond avec le graphe d'aucune fonction au voisinage de (-1,0) et de (1,0).
Le théorème ci-après exprime une réciproque de ce résultat sous certaines conditions concernant une dérivée partielle. Il s'agit de plus d'une généralisation à des espaces de dimensions quelconques, valable non seulement dans le cas du plan.
Soit (a,b)∈U tel que f(a,b)=0 et $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\in Isom(F;G)$.
Dans ces conditions il existe un voisinage V de (a,b) inclus dans U, un voisinage W de a dans U et une application g:W→F de classe C1, tels que :
$$[(x,y)\in V \text{ et } f(x,y)=0] \Leftrightarrow [x\in W \text{ et }y=g(x)]$$
On vérifie immédiatement que f1 est de classe C1 et :
$$f_{1}'(a,b).(h,k)=\left ( h,\frac{\partial f}{\partial x}(a,b).h + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b).k\right )$$
f1'(a,b)∈Isom(E×F;E×G). on peut donc appliquer le théorème d'inversion locale à f1.
Il en résulte qu'il existe V⊆U voisinage de (a,b) et W1 voisinage de f1(a,b)=(a,0) tel que f1 soit un C1-difféomorphisme de V sur W1.
Soit alors W la projection de W1 sur E.
On a alors :
$$f_{1}^{-1}(x,z)=(x,G(x,z)) \text{ pour }(x,y)\in W_{1}$$
$$[(x,y)\in V \text{ et }f(x,y)=z]\Leftrightarrow [(x,y)\in W_{1} \text{ et }G(x,z)=y]$$
Il suffit de prendre z=0 et de poser g(x)=G(x,0).